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CORRESPONDANCE.

et, à cause des équations (a), on pourra ensuite écrire

$\left.{\begin{aligned}\beta &=F\left[A,B,\ldots \phi \left(A,B,\ldots \beta \right)\right],\\\beta '&=F\left[A,B,\ldots \phi '\left(A,B,\ldots \beta '\right)\right],\\\beta ''&=F\left[A,B,\ldots \phi ''\left(A,B,\ldots \beta ''\right)\right],\\&\ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}(c)$

mais, si l’on fait $\beta =\beta '=\beta ''=\ldots$, ce qui ne saurait altérer l’égalité entre les membres des équations (c)^[1], les premiers membres de ces équations devenant identiques, les seconds le deviendront aussi ; on aura donc

$F\left[A,B,\ldots \phi \left(A,B,\ldots \beta \right)\right]=F\left[A,B,\ldots \phi '\left(A,B,\ldots \beta \right)\right]$

$=F\left[A,B,\ldots \phi ''\left(A,B,\ldots \beta \right)\right]=\ldots \,;$

or, puisque les fonctions indiquées par $\phi ,\phi ',\ldots$ ne changent pas, par les substitutions respectives de $\beta$ à la place de $\beta ',\beta '',\ldots$ et que, de plus, tous les membres de la suite d’égalités précédente sont des mêmes fonctions, indiquées par le caractère commun $F$, il s’ensuit évidemment que ces égalités ne peuvent avoir lieu qu’autant qu’on a simultanément

$\phi \left(A,B,\ldots \beta \right)=\phi '\left(A,B,\ldots \beta \right)=\phi ''\left(A,B,\ldots \beta \right)=\ldots \,;$

car, s’il en était autrement, il s’ensuivrait que les mêmes combinaisons de quantités différentes $\phi \left(A,B,\ldots \beta \right)=\phi '\left(A,B,\ldots \beta \right)$$=\phi ''\left(A,B,\ldots \beta \right)$$=\ldots$ avec les mêmes quantités $A,B,\ldots$ seraient égales, ce qui est absurde : donc les fonctions $\phi ,\phi ',\phi '',\ldots$ sont les mêmes.

1. En effet, l’équation $\beta '=F\left[A,B,\ldots \phi '\left(A,B,\ldots \beta '\right)\right]\ldots (d)$ ou $\beta '=F\left[A,B,\ldots \alpha '\right),$ prise pour exemple n’étant qu’une autre manière d’écrire l’équation $\beta '=A\alpha '^{n}+B\alpha '^{n-1}+\ldots (e)\,;$ il est clair que la substitution du symbole $\beta ,$ à la place du symbole $\beta ',$ dans l’équation (d), équivaut à la substitution de $\alpha$ et $\beta ,$ à la place ds $\alpha '$ et $\beta '$ dans l’équation (e) ; substitution permise d’après l’hypothèse.