suppose des principes déjà établis sur les figures sphériques, ce qui exige des développemens préliminaires ; la brièveté de la démonstration de Legendre n’est (suivant moi) qu’apparente ; et cette démonstration ne me paraît pas avoir le degré de simplicité qu’on est en droit de désirer, pour une proposition fondamentale.
» Il paraît qu’Euler a fait des tentatives inutiles pour démontrer ses théorèmes, par la décomposition du polyèdre en pyramides ayant pour sommet commun un point pris dans l’intérieur de ce polyèdre, et ayant ses faces pour bases. Hic modus (dit-il) solidum quodcunque in pyramides resolvendi ad prœsens instituîum parum confert. Cette assertion d’Euler m’a paru remarquable ; elle a fixé mon attention ; et le résultat de mes méditations, sur ce sujet, me paraît satisfaisant. Je trouve que la décomposition rejetée par Euler, comme inutile, conduit à la démonstration demandée, d’une manière très-simple et très-lumineuse, ainsi que je le développerai dans ce mémoire.
» Cette légère observation, relative à une simple différence dans le procédé d’une démonstration, ne sera, au surplus, que secondaire dans ce qui va suivre. Je me propose principalement de montrer que le théorème d’Euler souffre des exceptions nombreuses, et qu’il n’est vrai, d’une manière générale, que pour les polyèdres qui n’ont point de parties rentrantes, soit quant aux angles plans qui forment les angles solides, soit quant aux angles dièdres ou aux inclinaisons de leurs faces ; ou, ce qui revient encore au même, pour les solides qui sont, en entier, d’un même côté du plan de chacune de leurs faces. Ces polyèdres sont, à la vérité, ceux qu’on a coutume de considérer principalement dans les élémens. Cependant la définition des polyèdres, suivant laquelle ils sont des solides terminés de toutes parts, par des figures planes, n’exclut point les polyèdres à parties rentrantes. À moins donc qu’on n’avertisse (ainsi que le fait Legendre), qu’on s’occupe exclusivement des premiers polyèdres, on s’expose à donner comme générales des conclusions qui ne sont applicables
