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MAXIMA ET MINIMA.

ANALISE TRANSCENDANTE.

Mémoire sur les maxima et minima des fonctions à
un nombre quelconque de variables ;

Présenté à la 1.^re classe de l’institut, le 15 avril 1811 ;

Par M. J. F. Français, professeur à l’école impériale
de l’artillerie et du génie.

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M. Lagrange a fait voir que les conditions assignées par Euler, pour l’existence des maxima et minima des fonctions à deux variables, étaient insuffisantes, et y a ajouté une nouvelle condition ; de plus, il a étendu cette théorie aux fonctions d’un nombre quelconque de variables. Je me propose de faire voir, dans ce mémoire, 1.^o que la nouvelle condition introduite par M. Lagrange exige trop ; 2.^o qu’outre les maxima et minima déterminés qu’on a considérés jusqu’à présent, il peut exister une infinité de maxima et minima, liés entre eux par une ou plusieurs relations entre les variables de la fonction proposée, et que ce cas a précisément lieu, lorsque les nouvelles conditions assignées par M. Lagrange sont en défaut.

1. Si $\phi (x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})$ devient un maximum ou un minimum pour les valeurs $x_{1}=a_{1},x_{2}=a_{2},x_{3}=a_{3},\ldots ,x_{n}=a_{n}$ ; on pourra représenter un état voisin de cette fonction par