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ET MINIMA.

Cependant, dans ce cas, la valeur de $V$ peut devenir nulle, en supposant entre les accroissemens $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\ldots \xi _{n}$ la relation

$C_{1,1}\xi _{1}+C_{1,2}\xi _{2}+C_{1,3}\xi _{3}+\ldots +C_{1,n}\xi _{n}=0.\qquad (10)$

On pourrait donc croire que la condition du maximum ou minimum n’est pas satisfaite généralement. Mais il est aisé de voir que l’équation (10) n’est autre chose que l’équation differentielle $l_{1}\mathrm {d} \lambda =0,$ dans laquelle on a substitué pour $\mathrm {d} x_{1},\mathrm {d} x_{2},\mathrm {d} x_{3},\ldots \mathrm {d} x_{n}$ les accroissemens $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\ldots \xi _{n}\,;$ elle est donc une suite nécessaire de la supposition que nous avons faite, et fait voir que, pour toute autre relation entre les accroissemens $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\ldots \xi _{n},$ la quantité $V$ devient positive pour le minimum et négative pour le maximum. Le maximum ou minimum a donc réellement lieu pour toutes les valeurs des variables satisfaisant à la relation $\lambda =0.$

En différentiant de même les équations (7), pour en tirer les valeurs de $C_{1,1},C_{1,2},\ldots C_{2,n},C_{2,2},C_{2,3},\ldots C_{2,n},C_{3,3},\ldots C_{n,n},$ on trouvera, entre ces quantités, les relations $\beta _{3,3}=0,\ \beta _{3,4}=0,\ \beta _{3,5}=0,\ldots \beta _{3,n}=0,$ et tous les $\gamma ,\delta ,\ldots \psi ,\omega ,$ s’évanouiront en même temps. L'équation (2) se réduira à ses deux premiers termes, et les conditions du minimum ou maximum deviendront

$\lambda =0,\qquad \mu =0,\qquad C_{1,1}\gtrless 0,\qquad \alpha _{2,2}>0.\qquad (11)$

Toutes les valeurs des variables, satisfaisant aux relations $\lambda =0,\ \mu =0,$ donneront donc un minimum ou maximum, si les deux dernières conditions (11) sont satisfaites.

La valeur de $V$ peut devenir nulle, dans ce cas, et faire présumer que le minimum ou maximum n’a pas lieu généralement, en supposant entre les accroissemens $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\ldots \xi _{n}$ les relations simultanées

${\begin{aligned}C_{1,1}\xi _{1}&+C_{1,2}\xi _{2}+C_{1,3}\xi _{3}+\ldots +C_{1,n}\xi _{n}=0,\\\alpha _{2,2}\xi _{2}&+\alpha _{2,3}\xi _{3}+\alpha _{2,4}\xi _{4}+\ldots +\alpha _{2,n}\xi _{n}=0\,;\\\end{aligned}}\qquad (12)$

mais il n’est pas difficile de se convaincre que le système de ces deux équations équivaut à celui des deux équations différentielles $\mathrm {d} \lambda =0,\mathrm {d} \mu =0,$ dans lesquelles on aurait substitué les accroissemens $\xi _{1},\xi _{2},$