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QUESTIONS RÉSOLUES.

QUESTIONS RÉSOLUES.

Recherches de quelques formules appartenant à la
théorie des combinaisons ;

En réponse à la dernière des deux questions proposées
à la page 104 de ce volume ;

Par MM. Le Grand et Rochat, professeurs de mathématiques
à St-Brieux.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Des lettres $a,b,c,d,\ldots ,$ au nombre de $m,$ étant données ; on sait qu’en les prenant $n$ à $n,$ de toutes les manières possibles, elles donnent un nombre de produits différens exprimé par

${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}.\ldots {\frac {m-n+1}{n}}.\qquad$ (A)

Concevons qu’on ait formé tous ces différens produits et que, dans chacun d’eux, on ait disposé les facteurs suivant l’ordre alphabétique, du premier au dernier ; comme dans chacun d’eux il manquera $m-n$ des lettres $a,b,c,d,\ldots ,$ les lettres qui le composeront ne se succéderont pas toutes consécutivement, en sorte qu’un de ces produits, pris au hasard, pourra présenter d’abord un certain nombre de lettres consécutives ; puis un autre nombre de lettres aussi consécutives entre elles, mais non consécutives aux premières ; puis encore un autre nombre de lettres consécutives entre elles, mais non consécutives à celles qui composeront la seconde partie : et ainsi de suite. Soit par exemple, le produit

$abdefhikl,\qquad$en l’écrivant ainsi$\qquad ab.def.hikl,$

on voit qu’il est composé de trois facteurs, lesquels sont eux-mêmes des produits dont les facteurs sont consécutifs.