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SÉPARATION

2. De même, si l’on différentie, tant de fois qu’on voudra, l’équation (1), soit aux différences soit aux différentielles, et quel que soit le système de différentiation (c’est-à-dire, quelle que soit la variable ou la fonction des deux variables dont on considère la différentielle comme constante), on n’y changera en rien la relation entre $x$ et $y$, et on n’y introduira aucune relation nouvelle. En effet, en différentiant une équation entre deux variables, on ne fait autre chose qu’exprimer l’indétermination complette de l’une d’elles ; car, si l’une des variables reçoit un accroissement arbitraire, l’autre en reçoit un qui est déterminé par la forme de l’équation proposée, sans qu’il y soit introduit aucune relation nouvelle. Ainsi les équations

$(4)\left\{{\begin{array}{rrr}\partial F(x,y)=0,&\Delta F(x,y)=0,&\mathrm {E} F(x,y)=0\,;\\\partial ^{2}F(x,y)=0,&\Delta ^{2}F(x,y)=0,&\mathrm {E} ^{2}F(x,y)=0\,;\\\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \,;\\\end{array}}\right.$^[1]

n’exprime ni plus ni moins que la proposée (1). Il en serait de même, d’un système quelconque de ces équations, combinées entre elles et avec des constantes, telles que sont les suivantes ;

$(5)\left\{{\begin{aligned}\partial ^{n}F(x,y)&+a\partial ^{n-1}F(x,y)+b\partial ^{n-2}F(x,y)+\ldots kF(x,y)=0\,;\\\partial ^{n}F(x,y)&+a\Delta \partial ^{n-1}F(x,y)+b\Delta ^{2}\partial ^{n-2}F(x,y)+\ldots k\Delta ^{n}F(x,y)=0.\\\end{aligned}}\right.$

Les échelles, ou signes de différentes espèces de differentiation, se comportent donc de la même manière, à l’égard de l’équation proposée qu’elles affectent, que les constantes des équations (2). On peut donc considérer ces constantes comme des échelles ; et réciproquement, on peut traiter les échelles comme des quantités constantes ; sauf à se rappeler, dans les résultats, que ces échelles indiquent des

1. À l’exemple d’Arbogast, M. Français emploie ici la caractéristique $\mathrm {E} ,$ comme signe de l’état varié de la fonction ; quant au $\partial ,$ c’est, comme le $\scriptstyle {D}$ de M. Kramp, un signe de dérivation ; en sorte qu’on a $\partial \phi (x)=\scriptstyle {D}\textstyle \phi (x)={\frac {\mathrm {d} \phi (x)}{\mathrm {d} x}}.$ Voyez le Calcul des dérivations, pages 306 et 375.
   J. D. G.