En général, si l’échelle est le développement d’une fonction de forme connue, on pourra substituer à ce développement la fonction non développée.
4. Cette manière d’envisager les échelles d’opérations fait voir clairement pourquoi la méthode de les détacher ne doit s’étendre qu’aux formules ou équations dans lesquelles elles ne sont combinées qu’entre elles et avec des quantités constantes ; elle démontre de plus, ce me semble, d’une manière bien convaincante, et déduit des premiers principes du calcul, la légitimité de cette opération, quand les échelles ne sont mêlées qu’entre elles, ou avec de quantités constantes. Elle fait voir encore la nécessité d’adopter la notation différentielle introduite par Arbogast, comme la seule susceptible de cette opération. Cette notation s’écarte d’ailleurs le moins possible de celle de Leibnitz, puisqu’il suffit de faire dans celle-ci pour avoir celle d’Arbogast.
5. Si l’équation (1) devient identique, et prend la forme
l’une de ces fonctions, multipliée par l’échelle, peut être mise dans le second membre ; alors on peut laisser l’échelle non développée dans l’un des membres, et écrire son développement dans l’autre. Ainsi, toute équation dont le second membre est le développement du premier, peut être considérée comme une équation à échelles, qui, étant multipliée par une fonction quelconque de fournira une multitude de formules et de théorèmes que souvent on ne pourrait obtenir, par les voies ordinaires, que d’une manière longue et laborieuse. Mais, avant de nous livrer aux applications, nous allons établir les relations qui existent entre les diverses échelles ou signes de différentiation.
6. Lorsque, dans la variable reçoit un accroissement cette fonction devient et l’on a, par le Théorème de Taylor,
