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FRACTIONS

d’en déduire $\mathrm {F} x,$ ainsi que nous le verrons tout-à-l’heure, la décomposition de la première fraction du second membre se trouverait ainsi exécutée.

Si, dans notre équation, on chasse les dénominateurs ; et, qu’après avoir changé $x$ en $a+y,$ on développe par la série de Taylor, il viendra

$\psi a+{\frac {y}{1}}\psi 'a+{\frac {y^{2}}{1.2}}\psi ''a+\ldots =$

$\left\{\mathrm {F} a+{\frac {y}{1}}\mathrm {F} 'a+{\frac {y^{2}}{1.2}}\mathrm {F} ''a+\ldots \right\}\left\{\mathrm {f} a+{\frac {y}{1}}\mathrm {f} 'a+{\frac {y^{2}}{1.2}}\mathrm {f} ''a+\ldots \right\}$

$+y^{m}\left\{\Phi a+{\frac {y}{1}}\Phi 'a+{\frac {y^{2}}{1.2}}\Phi ''a+\ldots \right\}$

d’où, en comparant les puissances semblables de $y$

${\begin{aligned}\psi a&=\mathrm {f} a\mathrm {F} a,\\\psi 'a&=\mathrm {f} a\mathrm {F} 'a+\mathrm {f} 'a\mathrm {F} a,\\\psi ''a&=\mathrm {f} a\mathrm {F} ''a+2\mathrm {f} 'a\mathrm {F} 'a+\mathrm {f} ''a\mathrm {F} a\,;\\\end{aligned}}$

et, en général

$\psi ^{(n)}a=\mathrm {f} a\mathrm {F} ^{(n)}a+{\frac {n}{1}}\mathrm {f} 'a\mathrm {F} ^{(n-1)}a+{\frac {n}{1}}{\frac {n-1}{2}}\mathrm {f} ''a\mathrm {F} ^{(n-2)}a+\ldots ,$

pourvu que $n$ soit moindre que $m.$ Or, comme $\psi x$ et ${\mathcal {f}}x$ sont connus, on aura facilement $\psi a,\ \psi 'a,\ \psi ''a,\ldots ,\mathrm {f} a,\mathrm {f} 'a,\mathrm {f} ''a,\ldots \,;$ on n’aura donc d’inconnues, dans les équations ci-dessus, que $\mathrm {F} a,\mathrm {F} 'a,\mathrm {F} ''a,\ldots ,$ qu’elles serviront à déterminer. Il viendra alors

$\mathrm {F} x=\mathrm {F} \left\{a+(x-a)\right\}=\mathrm {F} a+{\frac {x-a}{1}}\mathrm {F} 'a+{\frac {(x-a)^{2}}{1.2}}\mathrm {F} ''a+\ldots \,;$

et ensuite

$\Phi x={\frac {\psi x-\mathrm {f} x\mathrm {F} x}{(x-a)^{m}}}.$