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FACULTÉS NUMÉRIQUES.

ANALISE TRANSCENDANTE.

Troisième mémoire sur les Facultés numériques.^[1]

Par M. Kramp, professeur, doyen de la faculté des
sciences de l’académie de Strasbourg.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

I. Dans le précédent mémoire, nous avons évalué le produit des facteurs

$1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}},\quad 1-{\frac {x^{2}}{(a+r)^{2}}},\quad 1-{\frac {x^{2}}{(a+2r)^{2}}},\quad 1-{\frac {x^{2}}{(a+3r)^{2}}},\ldots$

continué jusqu’à l’infini ; et nous l’avons trouvé égal à

${\frac {{\mathcal {f}}!{\mathcal {f}}!}{\left({\mathcal {f}}+{\frac {x}{r}}\right)!\left({\mathcal {f}}-{\frac {x}{r}}\right)!}}\,;$

en faisant, pour abréger, ${\frac {a}{r}}-1={\mathcal {f}},$ ce qui donne $1+{\mathcal {f}}={\frac {a}{r}}.$ Pour éviter les formes fractionnaires, soit $a=hr,\ x=ry$ ; nous aurons ainsi

$\left\{1-{\frac {y^{2}}{h^{2}}}\right\}\left\{1-{\frac {y^{2}}{(h+1)^{2}}}\right\}\left\{1-{\frac {y^{2}}{(h+2)^{2}}}\right\}\ldots$

$={\frac {(h-1)!(h-1)!}{\left(h-1+y\right)!\left(h-1-y\right)!}},$

le premier membre étant prolongé à l’infini.

1. Voyez les pages 1 et 114 de ce volume.