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LETTRE
des
; on trouve les deux angles
et
; en sorte que la même formule fait connaître les directions des axes des
et des
Si
désigne l’angle que fait l’axe des
avec l’axe des
il faudra porter sur cet axe des
à partir du centre, la valeur
![{\displaystyle A={\sqrt {\frac {2\left[bde-ae^{2}-cd^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)f\right]}{\left(b^{2}-4ac\right)\left[\left(a+c\right)-{\sqrt {\left(b^{2}+(a-c)^{2}\right)}}\right]}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8521e4cf8d8d53d3a1a57f328753420b66ea636d)
ce résultat est vrai, si
est négatif, et il est faux si
est positif.
Soit donnée pour exemple l’équation
Rappelons les formules de mon mémoire (tom. II, p. 218) ;
![{\displaystyle ay^{2}+2bxy+cx^{2}=P,\qquad gy'^{2}+hx'^{2}=P,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d9e158852a8323c9ae6b79e576f657f3a3ae07f)
![{\displaystyle z^{2}-(a+c)z+\left(ac-b^{2}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9646f8672061b99e2cebf83b693058b056e433b7)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .2\alpha =-{\frac {2b}{g-h}},\qquad \operatorname {Tang} .2\alpha =-{\frac {2b}{a-c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669fd4fc808415fcd9bf032faa90188f6d095227)
En substituant, on trouve
![{\displaystyle z^{2}-6z+{\tfrac {11}{4}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f3ba5b5a7c75e610be1ab2d035c8c3abea16cc)
d’où
![{\displaystyle z={\tfrac {11}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb51f68ebc3fbc5194ce9df47a891b9f78899c4)
ou
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edef8290613648790a8ac1a95c2fb7c3972aea2f)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .2\alpha =-{\frac {3}{h-g}},\qquad \operatorname {Tang} .2\alpha ={\tfrac {1}{4}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92baf44c10fa99c2ac8134e30302d32ddb74901)
or, comme
doit être positif, il s’ensuit que
donc
![{\displaystyle A^{2}={\tfrac {2}{11}},\qquad B^{2}=2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfe1c32f61a9a8bf7b6ad9f28ff163c2e838a4b)
En appliquant les formules de M. Rochat, on trouve au contraire
![{\displaystyle A^{2}=2,\qquad B^{2}={\tfrac {2}{11}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa8b02d50e6300b57513fa94090e9ae099fa88c)
Il est donc très-important de faire attention au double signe du radical, dans les valeurs de
et
ou dans celles de
et
; car, sans cette précaution, on déterminerait bien exactement l’ellipse et l’hyperbole, mais très-souvent ces courbes ne seraient point situées comme elles doivent l’être, relativement aux axes primitifs des coordonnées.