de l’angle donnée par feu Bertrand de Genève, on peut parvenir directement, et d’une manière fort simple, au théorème de l’égalité de la somme des trois angles de tout triangle à deux angles droits.
Les côtés d’un triangle, considérés comme droites indéfinies, divisent toujours le plan, aussi indéfini, sur lequel ce triangle se trouve situé, en sept régions (fig.2) : savoir, une région finie qui est le triangle lui-même ; trois régions infinies qui, étant les opposés par le sommet des angles de ce triangle, doivent avoir leur somme égale à la somme de ces angles ; enfin trois autres régions aussi infinies, et respectivement égales aux précédentes, diminuées chacune de l’aire du triangle.
Or, comme ces sept régions réunies composent le plan, ou quatre angles droits, il s’ensuit qu’en désignant par l’angle droit, considéré comme surface infinie, on doit avoir
mais, on a d’ailleurs
prenant donc la somme de ces quatre équations, il viendra, en réduisant et divisant par
ou simplement
puisque la fraction ayant son numérateur fini et son dénominateur infini, doit être regardée comme nulle vis-à-vis du nombre 2 : ainsi, la somme des nombres abstraits qui expriment combien de fois les angles d’un triangle contiennent l’angle droit, vaut deux unités.[1]
- ↑ La même méthode, appliquée à la sphère, donne l’aire connue du triangle sphérique. Appliquée au tétraèdre, elle conduit aux relations connues entre ses angles dièdres et ses angles trièdres, et prouve, en outre, que l’espace infini compris entre les prolongemens des faces au-delà d’une arête quelconque, est équivalent à l’espace infini compris entre les prolongement des mêmes faces au-delà de l’arête opposée.
