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LIGNES ET SURFACES LIMITES.

{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}+\alpha \left\{{\frac {\mathrm {d} ^{3}V}{\mathrm {d} A^{3}}}+\ldots \right\}=0,\qquad

(5)

puisque $\alpha$ n’est point supposé nul. Ainsi on pourra, pour la détermination du point $p,$ substituer le système des équations (1), (2), (5) au système des équations (1), (2), (4).

Mais, à mesure que $\alpha$ décroitra, la courbe $h'h'$ exprimée par le système des équations (1) et (5), tendra continuellement à devenir une courbe $hh,$ coupant $mm$ ou $gg$ en $t$ ; on aura donc les équations de $hh$ , en faisant $\alpha =0,$ dans l’équation (5), et combinant l’équation résultante avec l’équation (1) ; ainsi le point $t$ de $mm,$ qui répond à la valeur $A$ de la constante, sera donné par le système des trois équations

V=0,\qquad {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}=0,\qquad {\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}=0,

si donc on élimine $A$ entre elles, les deux équations résultantes, en $x,y,z,$ devant être satisfaites à la fois par les coordonnées des points $t,t',t'',\ldots$ qui répondent aux diverses valeurs $A,A',A'',\ldots$ de la constante, seront les équations de la courbe $mm$ qui les contient tous, c’est-à-dire, de l’arête de rebroussement.

Si l’équation $V=0$ renfermait $n$ constantes $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots A_{n}$ liées entre elles par $n-1$ équations ; on se conduirait absolument comme il a été expliqué dans le § précédent.^[1]

↑ Ce qui précède me paraît établir, d’une manière nette, un point assez délicat de la géométrie transcendante, et pourrait, à la rigueur, être ramené eux simples élémens. Je n’ignore pas, au surplus, que l’opinion, toujours vacillante, semble maintenant repousser ces doctrines lumineuses, appelées vainement, pendant plus d’un siècle, par les vœux des géomètres, et dont la découverte fait tant d’honneur à l’époque où nous vivons. Mais, je n’en demeure pas moins fermement persuadé que, s’il peut être utile de se familiariser avec la considération des infiniment petits, il est beaucoup plus important encore, sur-tout dans l’enseignement élémentaire, de n’appuyer les théories fondamentales que sur les notions les plus rigoureuses, du moins, lorsqu’on aspire à quelque chose de plus qu’à enseigner ou à apprendre un métier.

[1] Ce qui précède me paraît établir, d’une manière nette, un point assez délicat de la géométrie transcendante, et pourrait, à la rigueur, être ramené eux simples élémens. Je n’ignore pas, au surplus, que l’opinion, toujours vacillante, semble maintenant repousser ces doctrines lumineuses, appelées vainement, pendant plus d’un siècle, par les vœux des géomètres, et dont la découverte fait tant d’honneur à l’époque où nous vivons. Mais, je n’en demeure pas moins fermement persuadé que, s’il peut être utile de se familiariser avec la considération des infiniment petits, il est beaucoup plus important encore, sur-tout dans l’enseignement élémentaire, de n’appuyer les théories fondamentales que sur les notions les plus rigoureuses, du moins, lorsqu’on aspire à quelque chose de plus qu’à enseigner ou à apprendre un métier.

[1]