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QUESTIONS
![{\displaystyle (1-x)\left\{1-\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)x\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8df6f93fde9e43e6846a530cfa66e5d23316735)
ou, ce qui revient au même, du développement de la somme de deux fractions de la forme
![{\displaystyle {\frac {M}{1-x}},\qquad {\frac {N}{1-\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467f00e704aa5518d207e244e100f489ed262b27)
or, les termes généraux correspondans de ces développemens sont
![{\displaystyle Mx^{n}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e2e21d0d4c7f17ccf3f7bacb8edb997630d9c0)
et
![{\displaystyle \qquad N\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n}x^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c58a5f11cfd4cb4150a3032bd37b1f56efbd2b90)
partant
![{\displaystyle X=M+N\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e602eacac6546baf5d1cac9a7db026316b000a9)
et
étant deux constantes qu’il s’agit présentement de déterminer d’après l’état initial du mélange dans les deux vases.
Soient
et
les quantités d’eau qui se trouvaient respectivement
dans les deux vases
et
avant la première opération ; après
cette première opération il se trouvera dans le vase
une quantité
d’eau exprimée par
![{\displaystyle \alpha -{\frac {c}{a}}\alpha +{\frac {c}{b}}\beta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5442087b50bdc0753bc33b47e1a23d80aa185268)
ainsi il faut qu’en faisant successivement
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}n&=0,\\n&=1,\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6396e297fc79dd553fcd87c782ce9fc0c65e7526)
on ait
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}X&=\alpha ,\\X&=\alpha -{\frac {c}{a}}\alpha +{\frac {c}{b}}\beta \,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b26f741946f520aed607374e8f6d31e32a1fbd0)
ce qui donne
![{\displaystyle \alpha =M+N,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b853d2bd78f4bb51885295853087f5a88db658)
![{\displaystyle \alpha -{\frac {c}{a}}\alpha +{\frac {c}{b}}\beta =M+N\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddaddb9f33e61d41c745410a1a160f0a23be900c)