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QUESTIONS

à l’académie impériale de Genève ; Le Grand et Rochat, professeurs de mathématiques à Saint-Brieux.

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Énoncé. Une loterie étant composée de m numéros $1,2,3,\ldots m,$ dont il en sort $n$ à chaque tirage ; quelle est la probabilité que, parmi les $n$ numéros d’un même tirage, il ne se trouvera pas deux nombres consécutifs de la suite naturelle ?

Je vais rendre un compte sommaire des diverses solutions qui ont été données de ce problème, en insistant principalement sur les différences essentielles qu’elles pourront offrir.

Je commencerai par la démonstration d’un principe sur lequel reposent toutes ces solutions. Ce principe est généralement connu ; mais, la démonstration qu’en ont fourni MM. Le Grand et Rochat étant très-courte, on me pardonnera de la rapporter ici. Soient

${\begin{aligned}S_{1}&=1+2+3+\ldots +m,\\S_{2}&=1.2+2.3+3.4+\ldots +m(m+1),\\S_{3}&=1.2.3+2.3.4+3.4.5+\ldots +m(m+1)(m+2),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\S_{p}&=1.2.3\ldots p+2.3.4\ldots (p+1)+3.4.5\ldots (p+2)+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad +m(m+1)(m+2)\ldots (m+p-1).\\\end{aligned}}$

Il s’agit de prouver qu’on doit avoir,

${\begin{aligned}S_{1}&={\tfrac {1}{2}}m(m+1),\\S_{2}&={\tfrac {1}{3}}m(m+1)(m+2),\\S_{3}&={\tfrac {1}{4}}m(m+1)(m+2)(m+3),\\S_{p}&={\tfrac {1}{p+1}}m(m+1)(m+2)(m+3)\ldots (m+p-1)(m+p).\\\end{aligned}}$

Pour y parvenir, supposons que cette loi se soit vérifiée pour les $m-1$ premiers termes de la dernière suite, de manière qu’on ait

$1.2.3\ldots p+2.3.4\ldots (p+1)+3.4.5\ldots (p+2)+\ldots +(m-1)(m)(m+1)\ldots (m+p-2).$

$={\tfrac {1}{p+1}}(m-1)(m)(m+1)\ldots (m+p-2)(m+p-1)\,;$