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FACULTÉS

=r^{m}.{\frac {1.2.3\ldots \left({\frac {a}{r}}-m\right)\left[{\frac {a}{r}}-(m+1)\right]\ldots \left({\frac {a}{r}}-1\right){\frac {}{a}}{}r}{1.2.3\ldots \left({\frac {a}{r}}-m\right)}}

={\frac {\left({\frac {a}{r}}\right)!}{\left({\frac {a}{r}}-m\right)!}}r^{m}.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad

ce qui donne les deux expressions littérales qui suivent

a^{m|r}={\frac {\left({\frac {a}{r}}+m-1\right)!}{\left({\frac {a}{r}}-1\right)!}}r^{m},\qquad a^{m|-r}={\frac {\left({\frac {a}{r}}\right)!}{\left({\frac {a}{r}}-m\right)!}}r^{m}\;;

lesquelles ont lieu quels que soient $a$ et $r.$ ^[1]

3. Les facultés numériques étant ainsi réduites, dans tous les cas, à la forme bien plus simple $y!,$ qui n’est fonction que d’une seule variable ; il suffira de connaître les valeurs numériques de ces derniers produits, pour les $y$ compris entre les simples limites zéro et plus un, pour pouvoir en déduire immédiatement toutes les autres. En effet, désignant par $m$ une fraction comprise entre $0$ et $+1$ , et par $n$ un nombre entier quelconque, on voit que tous les nombres possibles, positifs ou négatifs, rentrent dans la forme $m+n.$ Or, nous avons

(m+n)!=1^{m+n|1}=1^{m|1}.(m+1)^{n|1}=m!(m+1)^{n|1},

↑ Ces deux formules, qui reviennent entièrement au même, dans le cas d’un exposant entier, doivent être soigneusement distinguées, dans le cas d’un exposant non entier. Si l’on imagine une courbe ayant $r$ pour abscisse et les facultés $a^{m|r}$ pour ordonnées, cette courbe cessera d’être continue à $r=0$ ; et celle qui aurait pour ordonnées les facultés $a^{m|-r}$ ne sera pas la continuation de la première : bien qu’en cet endroit elles aient une tangente commune, et le même rayon oscillateur. Les absurdités apparentes auxquelles j’ai été conduit, dans mon Analise des réfractions, viennent de ce que, par un excès de confiance dans la loi de continuité, j’ai passé trop légèrement de $r$ positif à $r$ négatif, en étendant à celui-ci ce qui n’avait été démontré que pour l’autre.

[1] Ces deux formules, qui reviennent entièrement au même, dans le cas d’un exposant entier, doivent être soigneusement distinguées, dans le cas d’un exposant non entier. Si l’on imagine une courbe ayant $r$ pour abscisse et les facultés $a^{m|r}$ pour ordonnées, cette courbe cessera d’être continue à $r=0$ ; et celle qui aurait pour ordonnées les facultés $a^{m|-r}$ ne sera pas la continuation de la première : bien qu’en cet endroit elles aient une tangente commune, et le même rayon oscillateur. Les absurdités apparentes auxquelles j’ai été conduit, dans mon Analise des réfractions, viennent de ce que, par un excès de confiance dans la loi de continuité, j’ai passé trop légèrement de $r$ positif à $r$ négatif, en étendant à celui-ci ce qui n’avait été démontré que pour l’autre.

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