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SURFACES

§. VIII. Recherche des diamètres principaux dans les surfaces
du seconde ordre, rapportées à des axes quelconques.

Reprenons l’équation générale des surfaces du second ordre

(1)$\ Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2A'yz+2B'zx+2C'xy+2A''x+2B''y+2C''z+D=0.$

Nous avons déjà dit que, pour passer du système des coordonnées $x,y,z$ au système des coordonnées $x',y',z',$ de même origine que celui-là, il fallait poser

(2)$\qquad {\begin{aligned}x&=ax'+a'y'+a''z',\\y&=bx'+b'y'+b''z',\\z&=cx'+c'y'+c''z',\\\end{aligned}}$

et qu’alors les équations des axes des $x',y',z',$ rapportés au système primitif, étaient respectivement

${\begin{array}{lrrr}{\text{(3)}}&x=ar,&\qquad y=br,&\qquad z=cr\,;\\{\text{(4)}}&x=a'r,&\qquad y=b'r,&\qquad z=c'r,\\{\text{(5)}}&x=a''r,&\qquad y=b''r,&\qquad z=c''r.\\\end{array}}$

Si l’on substitue les valeurs (2) dans l’équation (1), on obtiendra une transformée, du même degré en $x',y',z',$ que l’on pourra ensuite simplifier, en disposant des quantités arbitraires qui déterminent les directions des nouveaux axes.

Faisant donc disparaître, tous les rectangles des coordonnées, nous aurons les équations

${\begin{array}{ll}{\text{(6)}}\ (Aa''+B'c''+C'b'')a'+(Bb''+C'a''+A'c'')b'+(Cc''+A'b''+B'a'')c'&=0,\\{\text{(7)}}\ (Aa''+B'c''+C'b'')a+(Bb''+C'a''+A'c'')b+(Cc''+A'b''+B'a'')c&=0,\\{\text{(8)}}\ (Aa'+B'c'+C'b')a+(Bb'+C'a'+A'c')b+(Cc'+A'b'+B'a')c&=0.\\\end{array}}$

Cela posé, en éliminant $a,b,c$ entre les équations (3) et l’équation (7), on tombera sur l’équation d’un plan

(9)$\ (Aa''+B'c''+C'b'')x+(Bb''+C'a''+A'c'')y+(Cc''+A'b''+B'a'')z=0,$

tel que, l’axe des $x'$ y étant situé, d’une manière quelconque, l’équation de la surface du second ordre se trouvera délivrée du terme