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DU SECOND ORDRE.

$\left\{{\begin{aligned}&m^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -2np(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma )\\+&n^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta -2pm(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha )\\+&p^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -2mn(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta )\\\end{aligned}}\right\}\quad T^{2}$

$=1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma .$

Cette équation donne la longueur d’une perpendiculaire abaissée de l’origine des coordonnées sur le plan

$mx+ny+pz=1\,;$

et elle coïncide parfaitement avec l’équation (R) du §. V.

Nous terminerons, sur cette théorie, en observant que la méthode que nous avons employée, pour les surfaces du second ordre, est exactement applicable aux lignes du même ordre, rapportées à un système primitif quelconque de coordonnées. Mais on peut, pour ces lignes, obtenir de suite l’équation qui détermine les quarrés des demi-diamètres principaux. En effet, soit posée l’équation

$Ax^{2}+By^{2}+2Cxy=D.$

et soit $y=mx$ celle d’un diamètre de la courbe. Si l’on cherche l’intersection du diamètre avec la courbe, puis la distance, de l’origine à ce point d’intersection, en se rappelant la formule

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy\operatorname {Cos} .\gamma ,\qquad {\text{où}}\qquad \gamma =\operatorname {Ang} .(x,y).$

on aura l’équation

$D\left(1+m^{2}+2m\operatorname {Cos} .\gamma \right)=r^{2}\left(Am^{2}+B+2Cm\right)$

ou

$\left(Ar^{2}-D\right)m^{2}+2\left(Cr^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma \right)m+\left(Br^{2}-D\right)=0,$

qui sera telle qu’en donnant une valeur à $r,$ il en résultera deux valeurs correspondantes pour $m$ ; c’est-à-dire, que, généralement, il existe toujours deux diamètres de même longueur qui ont des directions différentes. Si maintenant on suppose que $r$ désigne la longueur d’un demi-diamètre principal, alors les deux diamètres égaux qui répondront à cette hypothèse se confondront en un seul ; les valeurs correspondantes de $m$ devront donc être égales. Écrivant donc