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$AB=a,\qquad A^{2}+B^{2}=b\,;$

ajoutant et retranchant successivement à la seconde le double de la première et extrayant ensuite la racine quarrée des deux membres, il viendra

$A+B={\sqrt {b+2a}},\qquad A-B={\sqrt {b-2a}},$

d’où

$A={\tfrac {1}{2}}\left\{{\sqrt {b+2a}}+{\sqrt {b-2a}}\right\},\qquad B={\tfrac {1}{2}}\left\{{\sqrt {b+2a}}-{\sqrt {b-2a}}\right\}\,;$

Ainsi le produit donné, décomposé en facteurs, sera

${\begin{aligned}&\left\{{\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {b+2a}}+{\sqrt {b-2a}}\right]x+{\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {b+2a}}-{\sqrt {b-2a}}\right]\right\}\\\times &\left\{{\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {b+2a}}-{\sqrt {b-2a}}\right]x+{\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {b+2a}}+{\sqrt {b-2a}}\right]\right\}.\\\end{aligned}}$

Application. Si le produit donné est

$18x^{2}+45x+18\,;$

on aura $a=18,\ b=45,\ b+2a=81,\ b-2a=9,\ {\sqrt {b+2a}}=9,$${\sqrt {b-2a}}=3,{\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {b+2a}}+{\sqrt {b-2a}}\right]=6,{\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {b+2a}}-{\sqrt {b-2a}}\right]=3,$

et ce produit décomposé sera

$(3x+6)(6x+3).$

Deuxième cas. $n=2.$

Soit le produit proposé

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a.$

En posant ce produit égal à

$\left.{\begin{aligned}\left(Ax^{2}+Bx+C\right)\left(Cx^{2}+Bx+A\right)=ACx^{4}&+AB\\&+BC\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x^{3}&+A^{2}\\&+B^{2}\\&+C^{2}\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x^{2}&+AB\\&+BC\\\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}x&+AC,\\\\\\\end{aligned}}$

on aura, pour déterminer $A,B,C$ les trois équations

$AC=a,\qquad B(A+C)=b,\qquad A^{2}+C^{2}=c-B^{2}.$

Si, à la troisième équation, on ajoute le double de la première il viendra