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RÉSOLUES.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\{{\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {-47}}\right)x^{2}+8x+{\tfrac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {-47}}\right)\right\}\\\times &\left\{{\tfrac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {-47}}\right)x^{2}+8x+{\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {-47}}\right)\right\}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6cbd4510d39ed1012634863f78683fb30d1c110)
Troisième cas.
Soit le produit proposé
![{\displaystyle ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+cx^{2}+bx+a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4b909f4af22d8506e789221a67015971b4f38b5)
En posant ce produit égal à
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\left(Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D\right)\left(Dx^{3}+Cx^{2}+Bx+A\right)=ADx^{6}&+AC\\&+BD\\\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x^{5}&+AB\\&+BC\\&+CD\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x^{4}&+A^{2}\\&+B^{2}\\&+C^{2}\\&+D^{2}\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}x^{3}&+\ldots \\&+\ldots \\&+\ldots \\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd9277960895ccb6d73e2db422cd3d2dce55ee8)
on aura, pour déterminer
les quatre équations
![{\displaystyle AD=a,\ AC+BD=b,\ AB+BC+CD=c,\ A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}=d,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d155e0ede20f390c0c5d59e2e9e7ac705f1737b2)
en y joignant les quatre suivantes
![{\displaystyle AD=M,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d3d83b31ae45187e43461c62718bc9300c934e)
(1)
![{\displaystyle \qquad A^{2}+D^{2}=P,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e4fb5b834dab3bd3d5bf34f99c0c1f0c006df0)
(3)
![{\displaystyle BC=N,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f02ea858bd02a32f399a1e1732b3c3d0d39ccb4)
(2)
![{\displaystyle \qquad B^{2}+C^{2}=Q,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62729c00e8124334deb7b7c18534fd564de222cd)
(4)
elles deviendront
![{\displaystyle M=a,\ (5)\ AC+BD=b,\ (6)\ AB+CD=c-N,\ (7)\ P+Q=d,\ (8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e221684126212e3f6f1ae9f3d356600762bd6a)
en prenant successivement le produit et la somme des quarrés des équations (6), (7), et ayant égard aux équations (1), (2), (3), (4), il vient
![{\displaystyle NP+MQ=bc-bN,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0775051cb97c2ff2457ffbf98335ce2ea9a880)
(9)
![{\displaystyle PQ+4MN=(b^{2}+c^{2})-2cN+N^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6c5cb37b7065cb4d2cb1bd0497f2e9955ab656)
(10)
éliminant
et
entre les équations (5), (9), (10), il viendra
chassant enfin
de cette équation, au moyen de l’équation (8), elle deviendra