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CONSTRUCTION GÉOMETRIQUE.

ment le point de départ de la première ligne $a$ et le point d’arrivée de la seconde ligne $b,$ sera $=a+b.$

Généralisons ce principe et nous conclurons que $\mathrm {A,B,C,\ldots F,G,H,}$ étant des points quelconques, on a

$\mathrm {{\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {C\ldots }}+\ldots +{\overline {\ldots F}}+{\overline {FG}}+{\overline {GH}}={\overline {AH}}.}$

7. On peut décomposer une ligne en direction donnée $\mathrm {\overline {KP}}$ (fig. 3} en deux parties appartenant à des positions données $\mathrm {KA}$ et $\mathrm {KB} .$ Il suffit, pour cela, de tirer, sur $\mathrm {KB,KA} ,$ les lignes $\mathrm {PM,PN,}$ parallèles à $\mathrm {KA,KB} \,;$ et on aura

$\mathrm {{\overline {KP}}={\overline {KM}}+{\overline {MP}}={\overline {KN}}+{\overline {NP}}} \,;$

mais, comme on a

$\mathrm {{\overline {KM}}={\overline {NP}}} \quad$et$\quad \mathrm {{\overline {KN}}={\overline {MP}},}$

et comme d’ailleurs il n’y a que ces deux manières d’opérer la décomposition proposée, il faut en conclure, en général, que si, ayant

${\overline {A}}+{\overline {B}}={\overline {A'}}+{\overline {B'}},$

$\mathrm {A,A'}$ ont la même direction $a,$ et $\mathrm {B,B'}$ la même direction $b,$ $a$ et $b$ n’appartenant pas à la même position, on doit avoir aussi

$\mathrm {{\overline {A}}={\overline {A'}}} ,\quad$et$\quad \mathrm {{\overline {B}}={\overline {B'}}} .$

Cette partition a fréquemment lieu, lorsque l’une des positions est celle de $\pm 1$ et l’autre la position perpendiculaire ; ce qui revient à la séparation du réel et de l’imaginaire.

8. Passons aux applications, et établissons d’abord quelques conséquences dont l’emploi est le plus fréquent.

Soient (fig. 4) $\mathrm {AB,BC,\ldots EN,AB',B'C',\ldots E'N'} ,$ des arcs égaux, au nombre de $n,$ de chaque côté du point $\mathrm {A\,;{\overline {KA}}}$ étant prise pour unité ; et soit $\mathrm {\overline {KB}} =u\,;$ on aura

$\mathrm {\overline {KA}} =1,\quad \mathrm {\overline {KB}} =u,\quad \mathrm {\overline {KC}} =u^{2},\quad \mathrm {\overline {KD}} =u^{3},\ldots \mathrm {\overline {KN}} =u^{n},$

$\mathrm {\overline {KA}} =1,\quad \mathrm {\overline {KB'}} ={\frac {1}{u}},\quad \mathrm {\overline {KC'}} ={\frac {1}{u^{2}}},\quad \mathrm {\overline {KD'}} ={\frac {1}{u^{3}}},\ldots \mathrm {\overline {KN'}} ={\frac {1}{u^{n}}},$