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D’UNE ELLIPSE.

On déduit de là, après les réductions

${\begin{aligned}\operatorname {Tang} .(P-\phi )&={\tfrac {p(r-q)+q(p-r)\operatorname {Cos} .(Q-P)+r(q-p).\operatorname {Cos} .(R-P)}{q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-P)+r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-P)}},\\\operatorname {Tang} .(Q-\phi )&={\tfrac {p(r-q)\operatorname {Cos} .(P-Q)+q(p-r)+r(q-p)\operatorname {Cos} .(R-Q)}{p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-Q)+r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-Q)}},\\\operatorname {Tang} .(R-\phi )&={\tfrac {p(r-q)\operatorname {Cos} .(P-R)+q(p-r)\operatorname {Cos} .(Q-R)+r(q-p)}{p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-R)+q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-R)}}.\\\end{aligned}}$

La nature du problème exige que des tangentes on passe aux cosinus. On y parvient moyennant une certaine fonction, qu’en attendant nous représenterons par $F^{2},$ et dont la valeur, que nous nous réservons de simplifier plus loin, peut être exprimée ainsi qu’il suit :

$F^{2}=\left\{{\begin{aligned}(r-q)^{2}p^{2}&+2rq(p-r)(q-p)\operatorname {Cos} .(R-Q)\\+(p-q)^{2}r^{2}&+2pr(q-p)(r-q)\operatorname {Cos} .(P-R)\\+(q-p)^{2}r^{2}&+2qp(r-q)(p-r)\operatorname {Cos} .(Q-P).\\\end{aligned}}\right.$

On trouve alors

$\operatorname {Sin} .\lambda ={\frac {F}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}}\,;$

et ensuite

${\begin{aligned}F\operatorname {Cos} .(P-\phi )&=q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-P)+r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-P),\\F\operatorname {Cos} .(Q-\phi )&=r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-Q)+p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-Q),\\F\operatorname {Cos} .(R-\phi )&=p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-R)+q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-R)\,;\\\end{aligned}}$

d’où encore

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(P-\phi )&={\tfrac {q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-P)+r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-P)}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}},\\\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(Q-\phi )&={\tfrac {r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-Q)+p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-Q)}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}},\\\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(R-\phi )&={\tfrac {p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-R)+q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-R)}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}}.\\\end{aligned}}$

De là résulte l’égalité suivante