ces quantités augmentent à mesure que augmente, et qu’en
faisant augmenter , par tous les degrés insensibles, depuis jusqu’à elles augmenteront aussi, par des degrés insensibles,
mais de manière que augmentera plus que puisque de plus
petite qu’elle était, elle devient la plus grande. Il y aura donc
nécessairement un terme entre les deux valeurs où égalera : comme deux mobiles qu’on suppose parcourir une même
ligne, dans le même sens, et qui, partant à la fois de deux
points différens, arrivent en même temps à deux autres points,
mais de manière que celui qui était d’abord en arrière se trouve
ensuite plus avancé que l’autre, doivent nécessairement se rencontrer dans leur chemin. »
Lagrange étend ensuite le même raisonnement au cas où et seraient négatifs, et à celui où ils seraient de signes différens, ce qui est facile.
4. Cette démonstration me parait très-rigoureuse, et celle qu’on trouvera ci-après n’en est qu’une sorte de commentaire ; mais l’expérience m’a prouvé que les jeunes-gens ont beaucoup de peine à la saisir telle qu’elle vient d’être présentée ; qu’ils se font mille difficultés sur la comparaison de deux fonctions à deux mobiles[1], et qu’ils se plaignent sur-tout, avec quelque apparence de raison, de ce que la considération des quantités infiniment petites, qui leur est interdite, dans une partie des mathématiques, quoiqu’elle pût leur épargner bien des calculs, est permise et devient même, en quelque sorte, nécessaire dans celle-ci.
- ↑ Si l’on voulait faire servir la géométrie à rendre plus palpables les vérités purement algébriques, on pourrait, dans le cas dont il s’agit ici, raisonner de la manière suivante. Soient posés Chacune de ces équations, qu’on peut rapporter à la même origine et aux mêmes axes, exprime une courbe continue : ce qu’il est aisé de démontrer, sans supposer connue la théorie générale des équations. Or, étant actuellement moindre que ne peut ensuite la surpasser, sans que les deux courbes se coupent, et qu’il y ait conséquemment une valeur de qui donne
