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DES ÉQUATIONS

par $x-a$ ; il suit des premiers principes de cette opération que le reste $R,$ s’il y en a un, ne renfermera pas $x,$ et que, le quotient partiel obtenu indépendamment du reste étant designé par P, le quotient total sera $P+{\frac {R}{x-a}}\,;$ de manière qu’on aura

${\frac {x^{m}+Ax^{m-1}+Bx^{m-2}+\ldots +T}{x-a}}=P+{\frac {R}{x-a}}.$

Ces quantités égales, multipliées l’une et l’autre par $x-a,$ donneront des produits égaux ; donc

$x^{m}+Ax^{m-1}+Bx^{m-2}+\ldots +T=P(x-a)+R.$

Or, par hypothèse, l’un et l’autre membres de cette équation doivent se réduire à zéro, lorsqu’on y met a pour $x$, ce qui d’ailleurs n’apporte aucun changement à $R,$ puisque $R$ ne renferme pas $x.$

Nous aurons donc

$0=P(a-a)+R\qquad$ou$\qquad 0=R\,;$

c’est-à-dire, que le reste de la division est nul, ou que la division est nécessairement exacte. Cette démonstration est de d’Alembert.^[1]

8. Remarque. En exécutant réellement la division par $x-a$, on trouvera au quotient

$x^{m-1}+(A+a)x^{m-2}+(B+Aa+a^{2})x^{m-3}+(C+Ba+Aa^{2}+a^{3})x^{m-4}+\ldots \,;$

quantité qu’on peut mettre sous la forme

$x^{m-1}+A'x^{m-2}+B'x^{m-3}+\ldots +T'.$

1. Cette démonstration prouve qu’en général, quel que soit $a,$ le reste de la division du premier membre de l’équation proposée par $x-a$, n’est autre chose que ce que devient ce premier membre, lorsqu’on y met $a$ au lieu de $x$ ; d’où il résulte que ce reste sera ou ne sera pas nul, suivant que $a$ ou ne sera pas racine de l’équation.
   J. D. G.