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THÉORIE GÉNÉRALE
une autre valeur
telle que le nouveau résultat soit plus
grand que
et moindre que
La substitution de
à
donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}&=4^{3}+3.4^{2}\beta +3.4\beta ^{2}+\beta ^{3}\\5x^{5}&=5.4^{2}+5.2.4\beta +5\beta ^{2}\\4x&=4.4+4\beta \\12&=12\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb01ff1c6e4dcfd846e15e4f85d602d500ae5ae)
Le plus grand des coefficiens des différentes puissances de
est
évidemment
Ce qui donne
et
Le résultat de la substitution est
Résultat plus grand que
et moindre que
17. Remarques. I. Si au lieu de prendre
, on le prend encore plus petit, l’accroissement du polynôme sera moindre, mais demeurera positif.
II.
désignant toujours le plus grand des coefficiens
l’accroissement du polynôme sera moindre que
III.
désignant, au contraire, le plus petit de ces mêmes coefficiens, l’accroissement du polynôme sera plus grand que
Cet accroissement sera donc compris entre les deux limites finies
![{\displaystyle {\frac {S\beta }{1-\beta }}-{\frac {S\beta ^{m+1}}{1-\beta }}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd3f016850a9911b79d7de8839e4ad9d30e4cf79)
et
![{\displaystyle \qquad {\frac {S'\beta }{1-\beta }}-{\frac {S'\beta ^{m+1}}{1-\beta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91aca683e6780d12a80b30c0d0babb8c5bc87382)
18. PROBLÈME. Étant donnés deux polynômes
![{\displaystyle {\begin{aligned}P&=Ax^{m}+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}+\ldots +T,\\Q&=A'x^{m}+B'x^{m-1}+C'x^{m-2}+\ldots +T',\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22383acd5baca273374de54a61c2d0258c17623)
dont tous les termes sont positifs ; et étant donnés, de plus, deux
nombres
tels que le premier étant substitué à
, dans l’un