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D’ASTRONOMIE.

40. Faisant $\mathrm {ST} =a,\ \mathrm {SM} =r,$ le triangle $\mathrm {MNS} ,$ rectangle en $\mathrm {N} ,$ donnera

$\mathrm {MN} =r.\operatorname {Sin} .\mathrm {MSN} ,\qquad \mathrm {SN} =r.\operatorname {Cos} .\mathrm {MSN} .$

Le triangle $\mathrm {MLN}$, rectangle en $\mathrm {L}$, donnera ensuite

$\mathrm {ML} =\mathrm {MN} .\operatorname {Sin} .\mathrm {MNL} =r.\operatorname {Sin} .\mathrm {MSN} .\operatorname {Sin} .\mathrm {MNL} ,$

$\mathrm {NL} =\mathrm {MN} .\operatorname {Cos} .\mathrm {MNL} =r.\operatorname {Sin} .\mathrm {MSN} .\operatorname {Cos} .\mathrm {MNL} \,;$

et si, du point $\mathrm {T}$, on abaisse sur la ligne des nœuds $\mathrm {SN}$ la perpendiculaire $\mathrm {TO}$, et qu’on mène la parallèle $\mathrm {LP}$ à cette même ligne $\mathrm {SN}$, on aura

$\mathrm {SO} =a.\operatorname {Cos} .\mathrm {NST} ,\qquad \mathrm {TO} =a.\operatorname {Sin} .\mathrm {NST} \,;$

d’où on conclura

$\mathrm {NO=LP} =\mathrm {SN-SO} =r.\operatorname {Cos} .\mathrm {MSN} -a.\operatorname {Cos} .\mathrm {NST} ,$

$\mathrm {PT} =\mathrm {TO} -\mathrm {LN} =a.\operatorname {Sin} .\mathrm {NST} -r.\operatorname {Sin} .\mathrm {MSN} .\operatorname {Cos} .\mathrm {MNL} \,;$

on aura donc

$\operatorname {Tang} .\mathrm {TLP} =\operatorname {Tang} .\mathrm {TQS} =\operatorname {Tang} .\mathrm {NSZ} ={\tfrac {a.\operatorname {Sin} .\mathrm {NST} -r.\operatorname {Sin} .\mathrm {MSN} .\operatorname {Cos} .\mathrm {MNL} }{r.\operatorname {Cos} .\mathrm {MSN} -a.\mathrm {NST} }}\,;$

cet angle pourra donc être regardé comme donné, dès que l’on connaitra l’inclinaison $\mathrm {MNL}$ de l’orbite, les deux rayons vecteurs $\mathrm {ST} =a$ et $\mathrm {SM} =r$, et les angles $\mathrm {TSN,MSN}$ qu’ils font avec la ligne des nœuds. On n’aura qu’à retrancher ensuite cet angle $\mathrm {NSZ}$ de la longitude $\mathrm {ESN}$ du nœud, pour avoir la longitude géocentrique $\mathrm {ESZ}$.

41. Après la recherche de la longitude, celle de la latitude est très-facile. Des deux triangles $\mathrm {LTP}$, rectangle en $\mathrm {P}$, et $\mathrm {MLT}$, rectangle en $\mathrm {L}$, on tire les deux égalités qui suivent

$\mathrm {NO=LP=LT} \operatorname {Cos} .\mathrm {TLP=LT} .\operatorname {Cos} .\mathrm {NSZ} ,$

$\mathrm {LM=LT} .\operatorname {Tang} .\mathrm {MTL} \,;$

d’où