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D’ASTRONOMIE.

les ôtant l’une de l’autre, en remarquant que $(\theta -A)=(\theta -\delta )+(\delta -A),$ ce qui rend $\operatorname {Sin} .(\theta -A)-\operatorname {Cos} .(\theta -\delta )\operatorname {Sin} .(\delta -A)=\operatorname {Sin} .(\theta -\delta )\operatorname {Cos} .(\delta -A),$ on aura une nouvelle équation débarrassée de $P,$ et ne renfermant plus que $Q.$ Ces deux équations seront

${\begin{aligned}{\frac {bP}{a}}&={\frac {\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .(\theta -\delta )+\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\theta -A)\operatorname {Cot} .B}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A)\operatorname {Cot} .B}},\\{\frac {bQ}{a}}&={\frac {\operatorname {Sin} .(\theta -\delta )}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A)\operatorname {Cot} .B}}.\\\end{aligned}}$

Leur forme nous met dans le cas de procéder par degrés à la solution du problème, en le partageant dans les trois qui suivent :

49. PROBLÈME VI. La position du plan de l’orbite étant supposée connue, et connaissant de plus le grand axe de l’ellipse, et l’instant du passage par l’une des deux apsides ; on demande de déterminer, moyennant une seule observation, l’excentricité et la position de l’axe ?

50. Solution. Les quantités connues du problème seront ainsi : l’angle $\delta ,$ longitude du nœud ; l’angle $\beta$ inclinaison de l’orbite ; les angles $A$ et $B,$ ou la longitude et la latitude géocentriques, données par l’observation ; l’angle $\theta ,$ longitude de la terre dans ce même instant ; l’angle $\eta$ que faisait la ligne des nœuds avec le rayon vecteur de la terre, au moment du passage de l’astre par son aphélie ; enfin le demi-grand axe $b$ de l’orbite, et par conséquent la fraction ${\frac {b}{a}}.$ Les deux inconnues sont l’excentricité $\mu$ et l’angle $\epsilon$ que fait la ligne des nœuds avec celle des apsides.

51. Les deux équations données (48) nous mettent dans le cas de déterminer immédiatement les deux facteurs $P$ et $Q.$ De plus, l’angle $\eta$ étant supposé connu, on aurait, pour déterminer l’anomalie excentrique $\varkappa ,$ l’équation (44)

$p(\theta -\delta -\eta )=q(\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa )$

qui, outre cette anomalie, renferme encore l’excentricité, connue comme elle. Heureusement elle y est réductible ; car ayant (47)