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RÉSOLUES.

sont en progression géométrique, et ce système n’est pas celui qui présenta le plus d’avantages ; il paraît plus convenable que tous les arcs soient de même longueur et que l’anse ait beaucoup de centres, à moins qu’on n’ait intérêt à augmenter l’espace renfermé par l’anse, ou le volurme d’eau qu’elle doit laisser passer. On peut voir toutes ces questions dans l’ouvrage côté ; on y trouve (pag. 153, prob. 6), l’équation d’une courbe dans laquelle les changement de courbure se font par des degrés égaux.

Par analogie, on peut demander l’équation d’une courbe telle que les rayons de courbure, infiniment proches et également inclinés entre eux, forment une progression géométrique.

Soient $x$ et $y$ les coordonnées d’un point quelconque de la courbe, $r$ le rayon vecteur de ce point et $s$ la longueur de l’arc comptée depuis un certain point fixe ; on voit que l’angle formé par l’axe des $x$ avec la normale est le logarithme du rayon de courbure ; c’est-à-dire, qu’on a

$\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}\right)=c\operatorname {Log} .r,$

$c$ étant une constante. En différentiant, il vient

${\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}\right)}{1+\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}\right)^{2}}}={\frac {c\operatorname {d} r}{r}}.$

Substituant pour $r$ sa valeur ${\frac {\operatorname {d} s^{3}}{\operatorname {d} y^{2}.\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}\right)}},$ il vient

$\operatorname {d} s=c\operatorname {d} r,\qquad$d’où $s+c'=cr\,;\qquad$(1)

$c'$ étant une nouvelle constante.

Pour intégrer de nouveau l’équation (1), j’y mets pour $r$ sa valeur qui, en supposant $\operatorname {d} s,$ constant, est $-{\frac {\operatorname {d} x\operatorname {d} s}{\operatorname {d} ^{2}y}},$ et j’ai

$s+c'=-c{\frac {\operatorname {d} x\operatorname {d} s}{\operatorname {d} ^{2}y}}=-c{\frac {\operatorname {d} s{\sqrt {\operatorname {d} s^{2}-\operatorname {d} y^{2}}}}{\operatorname {d} ^{2}y}}\,;$

d’où, en faisant $\operatorname {d} y=p\operatorname {d} s,$ il vient