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TRANSFORMATION DES FRACTIONS.

ARITHMÉTIQUE.

Essai sur la transformation des fractions ;

Par M. Penjon, professeur de mathématiques au lycée
d’Angers.

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Il est connu, depuis long-temps, que, par un procédé analogue à celui qu’on emploie pour le développement d’une fraction en parties décimales, toute fraction peut être développée en une suite, finie ou infinie, d’autres fractions dont les dénominateurs sont les puissances successives d’un même nombre donné quelconque^[1]. Je vais essayer de compléter ici la théorie de ces sortes de développemens.

1. Soit ${\frac {A}{B}}$ une fraction proprement dite que nous supposerons essentiellement réduite à ses moindres termes ; et soit $b$ un nombre entier quelconque. Soient, de plus, $q_{1},q_{2},q_{3},\ldots r_{1},r_{2},r_{3},\ldots$ les quotiens et les restes que l’on obtient successivement, en divisant $bA,br_{1},br_{2},\ldots$ par $B\,;$ on aura

$\left.{\begin{array}{rrr}bA=&Bq_{1}+r_{1},\\br_{1}=&Bq_{2}+r_{2},\\br_{2}=&Bq_{3}+r_{3},\\br_{3}=&Bq_{4}+r_{4},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\\end{array}}\right\}\quad (\alpha )$

1. Voyez, entre autres, le Complément d’algèbre de M. Lacroix. Tom. IV, n.^o IX, 1.^er mars 1814