Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/285

271

DES FRACTIONS.

plus que ce développement aura précisément $m$ termes avant sa première période, et que ses périodes seront précisément de $n$ termes ; et nous donnerons en même temps un procédé différent du premier pour exécuter ce même développement.

8. Soient faits

$CC'=b^{m},\ DD'=b^{n}-1,\quad$d’où$\quad CDC'D'=BC'D'=b^{m}\left(b^{n}-1\right),$

on aura alors

${\frac {A}{B}}={\frac {AC'D'}{BC'D'}}={\frac {AC'D'}{b^{m}\left(b^{n}-1\right)}}$

Soit divisé $AC'D'$ par $b^{n}-1,$ et soient $M$ le quotient et $N$ le reste de cette division ; nous aurons alors

${\frac {A}{B}}={\frac {M\left(b^{n}-1\right)+N}{b^{m}\left(b^{n}-1\right)}}={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m}\left(b^{n}-1\right)}},$

ou encore

${\frac {A}{B}}={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m+n}}}+{\frac {N}{b^{m+2n}}}+{\frac {N}{b^{m+3n}}}+\ldots \qquad (\mu )$

Soit divisé $m-1$ fois consécutivement $M$ par $b,$ le quotient par $b,$ le nouveau quotient par $b,$ et ainsi de suite, en ne prenant que les quotiens entiers ; soient $q_{m},q_{m-1},q_{m-2},\ldots q_{2}$ les restes de ces divisions et $Q_{m-1},Q_{m-2},Q_{m-3},\ldots q_{1}$ leurs quotiens, nous aurons

${\begin{aligned}M=&Q_{m-1}b+q_{m},\\Q_{m-1}=&Q_{m-2}b+q_{m-1},\\Q_{m-2}=&Q_{m-3}b+q_{m-2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \\Q_{2}=&q_{1}b+q_{2},\\q_{1}=&0+q_{1},\\\end{aligned}}$

en prenant la somme des produits respectifs de ces équations par $1,b,b^{2},b^{3},\ldots b^{m-1},$ et réduisant, il viendra