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SOMMES DES PUISSANCES

et celui des mêmes facteurs, excepté le premier $x+\alpha ,$ par

$B_{1}x^{m-1}+B_{2}x^{m-2}+B_{3}x^{m-3}+\ldots +B_{m-1}\qquad$(2)

Il est évident qu’en divisant le polynôme (1) par $x+\alpha ,$ on produira le polynôme (2), et que, réciproquement, en multipliant le polynôme (2) par $x+\alpha ,$ on aura le polynôme (1). De là résultent les équations

$B_{n-1}=A_{n-1}-\alpha A_{n-2}+\alpha ^{2}A_{n-3}-\ldots ,$ (3)

$An=B_{n}+\alpha B_{n-1}.\qquad$(4)

L’équation (4) démontre que tout ce qui multiplie $\alpha$ dans $A_{n}$ est $B_{n-1}$ ; or, d’après la composition des coefficiens $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ en $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ si dans $A_{n}$ on prend tous les termes multipliés par $\alpha ,$ puis successivement ceux multipliés par $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots ,$ et qu’on les ajoute ; on aura $nA_{n}$ ; donc

$nA_{n}=\mathrm {S} (\alpha B_{n-1}),\qquad$(5)

le signe $\mathrm {S}$ indiquant la somme des produits $\alpha B_{n-1}$ que l’on obtient en permutant successivement $\alpha$ avec chacune des autres lettres.

Cela posé, dans l’équation (5) substituons à $B_{n-1}$ sa valeur (3), il viendra

$nA_{n}=\mathrm {S} \left(\alpha A_{n-1}-\alpha ^{2}A_{n-2}+\ldots \pm \alpha ^{n}\right),$

ou

$nA_{n}+A_{n-1}\mathrm {S} (-\alpha )+A_{n-2}\mathrm {S} (-\alpha )^{2}+\ldots +\mathrm {S} (-\alpha )^{n}=0\,;\qquad$(6)

et, comme $-\alpha ,-\beta ,-\gamma ,\ldots$ sont les racines de l’équation (1), il s’ensuit que la formule (6) détermine les sommes des puissances semblables de ces racines, savoir : $S(-\alpha ),S(-\alpha )^{2},S(-\alpha )^{3},\ldots$ jusqu’à $S(-\alpha )^{m}.$ On peut même pousser plus loin le calcul de ces sommes, en multipliant l’équation (1) par $x^{n},$ et en appliquant ensuite la formule (6) à l’équation résultante.^[1]

1. On trouve un article sur le même sujet à la page 238 du III.^e volume de ce recueil.
   J. D. G.