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QUESTIONS

$B={\frac {4x'^{2}}{(2bx'+2ay'-2x'y'-ab)^{2}-4x'^{2}y'^{2}}},$

$C={\frac {2(2bx'+2ay'-2x'y'-ab)}{(2bx'+2ay'-2x'y'-ab)^{2}-4x'^{2}y'^{2}}}.$

Nous avons donc résolu le problème où l’on proposerait de décrire une ellipse d’un centre donné, qui touchât les trois côtés d’un triangle donné.

Rendons actuellement à $x'$ et $y'$ leur indétermination, et assujettissons l’ellipse à être la plus grande possible. On sait que l’aire d’une ellipse n’est autre chose que le nombre $\varpi$ multiplié par le produit de ses deux demi-diamètres principaux ; d’où il suit que, pour remplir la condition exigée, il faut que ce produit, ou son quarré, soit un maximum ; or, d’après les résultats obtenus dans le troisième volume des Annales [pag. 106, équat. (4)], ce quarré est

${\frac {\operatorname {Sin} .^{2}\gamma }{AB-C^{2}}},$

ce qui donne pour la condition du maximum

$\operatorname {d} \left(AB-C^{2}\right)=0,\qquad$(M)

ou en développant

$B\operatorname {d} A+A\operatorname {d} B-2C\operatorname {d} C=0.\qquad (p)$

Différenciant pareillement les équations (1), (2), (3), en ayant égard à l’équation (M) et faisant varier $x'$ et $y',$ il viendra

$\operatorname {d} A+2y'\left(AB-C^{2}\right)\operatorname {d} y'=0,\qquad (q)$

$\operatorname {d} B+2x'\left(AB-C^{2}\right)\operatorname {d} x'=0,\qquad (r)$

$\operatorname {d} C-\left(AB-C^{2}\right)\left\{(x'-a)\operatorname {d} y'+(y'-b)\operatorname {d} x'\right\}=0.\qquad$(s)

Si, entre les quatre équations $(p,q,r,s),$ on élimine $\operatorname {d} A,\operatorname {d} B,\operatorname {d} C,$ on trouvera, toutes réductions faites,

$\left\{x'A+(y'-b)C\right\}\operatorname {d} x'+\left\{y'B+(x'-a)C\right\}\operatorname {d} y'=0\,;$

et, comme les variables $x',y'$ sont indépendantes, on en conclura