Remarque I. D’après les deux remarques précédentes, on voit qu’on a aussi 1.o le moyen d’obtenir le dernier terme du quotient ; 2.o le moyen d’obtenir un terme quelconque de ce quotient, lorsque tous ceux qui doivent le suivre sont déjà obtenus ; ce qui peut fournir une seconde solution du problème[1].
- ↑ C’est à peu près sur les mêmes principes qu’est fondé le procédé que l’on prescrit dans les traités d’arithmétique pour la division numérique ; mais ces principes se trouvent alors modifiés par des circonstances qui en rendent l’application incomparablement plus difficile.
Comme c’est principalement la nécessité d’exécuter la division numérique, en procédant de gauche à droite, que les commençans ont peine à bien sentir, je crois devoir, en leur faveur, placer ici les considérations suivantes.
I. Lorsqu’on multiplie un nombre de plusieurs chiffres par un nombre d’un seul chiffre, chaque produit partiel, avant d’être écrit, subit, en général, deux sortes de modifications, savoir, 1.° une augmentation de quelques unités, provenant des dixaines enlevées au produit précédent ; 2.° une diminution de toutes ses dixaines, qui doivent être ajoutées comme unités au produit suivant. Les deux produits extrêmes seuls ne subissent, avant d’être écrits, que l’une de ces modifications, savoir, le plus à droite une simple soustraction de dixaines, et le plus à gauche une simple addition d’unités ; d’où l’on voit, en dernière analise que c’est ce dernier qui, de tous, est le moins altéré. Donc, la comparaison de ce produit avec le chiffre le plus à gauche du multiplicande sera le moyen le plus propre à faire retrouver ce multiplicateur s’il est perdu ; et si, au contraire, c’est le multiplicande que l’on cherche, il conviendra de chercher d’abord son chiffre le plus à gauche, en comparant le multiplicateur à la partie gauche du produit.
II. Pareillement, dans la multiplication de deux facteurs de plusieurs chiffres, chaque produit partiel n’entre dans le produit total qu’après avoir été augmenté à droite par les produits d’ordres inférieurs, et à gauche par les produits d’ordres supérieurs. Les deux produits partiels extrêmes font pourtant exception à cette loi, puisque le plus à droite ne subit aucune altération vers sa droite, et que le plus à gauche n’en subit aucune vers sa gauche ; d’où l’on voit qu’encore, ici, c’est ce dernier produit qui subit la moindre altération, avant de venir se placer dans le produit total. Si donc il s’agit de déterminer le multiplicateur, à l’aide du multiplicande et du produit, ce qu’il y aura de mieux à faire sera de chercher,
