Par cette transformation, nous n’aurons rien changé au volume du corps proposé, et nous aurons (Lemme II) diminué sa surface ; d’où nous devrons conclure que cette surface n’était pas d’abord un minimum.
Le caractère du corps de moindre surface est donc que toutes les cordes perpendiculaires au plan aient leur milieu sur ce plan ou, en d’autres termes, que le plan soit un plan-diamètre principal ; et, puisque la direction de est arbitraire, il en faut conclure que tous les plans-diamètres du corps de moindre surface doivent être des plans principaux : propriété qui appartient exclusivement à la sphère.
Par un raisonnement tout à fait semblable à celui qui a été employé ci-dessus, on conclura facilement de ce résultat les trois corollaires suivans :
Corollaire I. Entre tous les corps de même surface, la sphère est celui qui a le plus grand volume.
Corollaire II. De tous les corps de même volume, terminés d’une part par un cercle donné et de l’autre par une surface se terminant à la circonférence de ce cercle, celui de moindre surface est le segment sphérique dont ce cercle est la base.
Corollaire III. De tous les corps de même surface, terminés d’une part par un cercle donné et de l’autre par une surface se terminant à la circonférence de ce cercle, celui du plus grand volume est le segment sphérique qui a ce même cercle pour base.
Remarque. J’ai cru d’autant plus utile de ramener la démonstration des propriétés de minimum dont jouissent le cercle et la sphère à des notions élémentaires que ces propriétés ne sont pas moins remarquables qu’elles sont importantes, et que les démonstrations qu’on en a données par la méthode des variations, outre qu’elles reposent sur des considérations trop élevées pour être à la portée du vulgaire des géomètres, ne me paraissent point assez développées pour ne laisser aucun nuage dans l’esprit.
