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EXPRESSIONS APPROCHÉES

$p={\frac {2n\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2^{m}.n}}}},\qquad$(1)

$P={\frac {2n\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .^{2}{\frac {\varpi }{2^{m}.n}}}},\qquad$(2)

Et tels sont les périmètres des deux polygones dont il s’agit ; on voit que leurs expressions ne diffèrent que par le facteur $\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2^{m}.n}}$ qui n’est qu’à la première puissance dans le dénominateur de la première, tandis qu’il se trouve au quarré dans le dénominateur de la seconde.

On a évidemment $2\varpi >p$ et $2\varpi <P$ ; on aura donc aussi

$\varpi >{\frac {n\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{2^{m}.n}}}},\qquad$(3)

$\varpi <{\frac {n\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .^{2}{\frac {\pi }{2^{m}.n}}}},\qquad$(4)

Voila donc deux limites de la valeur du nombre $\varpi$ ; limites d’autant plus resserrées, toutes choses égales d’ailleurs, que $m$ sera plus grand. En prenant l’une ou l’autre pour valeur approchée de $\varpi ,$ la limite de l’erreur sera

$2^{m}.n\left\{\operatorname {Tang} .{\frac {\pi }{2^{m}.n}}-\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{2^{m}.n}}\right\}.$