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DE POSITION.

Démonstration. Si l’on divise la circonférence décrite d’un rayon $=1$ en $m$ parties égales, et qu’on mène des rayons aux points de division, ces rayons formeront, d’après la définition 3.^e, une progression de grandeur et de position, dont les deux termes extrêmes seront également l’unité. On aura donc $1_{\frac {2\varpi }{m}}=1^{\frac {1}{m}},\ 1_{\frac {4\varpi }{m}}=1^{\frac {2}{m}},\ldots 1_{\frac {2n\varpi }{m}}=1^{\frac {n}{m}}.$ Supposant donc ${\frac {2n\varpi }{m}}=\alpha ,$ on aura ${\frac {n}{m}}={\frac {\alpha }{2\varpi }},$ et par conséquent $1_{\alpha }=1^{\frac {\alpha }{2\varpi }}.$

Corollaire 1.^er. Il suit de ce théorème, 1.^o que les rayons qui partagent en $m$ parties égales la circonférence dont le rayon est 1, représentent les $m$ racines m.^me de l’unité ; 2.^o que toutes ces racines sont égales entre elles et à l’unité, et qu’elles ne diffèrent les unes des autres que par leur position ; 3.^o qu’enfin elles sont toutes également réelles, puisqu’elles sont représentées par des lignes données de grandeur et de position.

Corollaire 2, En comparant ce théorème avec le précédent, on obtient immédiatement les valeurs connues des racines de l’unité, qu’on peut exprimer, en gêneral, par $1^{\frac {n}{m}}=e^{{\frac {2n\varpi }{m}}{\sqrt {-1}}}=\operatorname {Cos} .{\frac {2n\varpi }{m}}+\operatorname {Sin} .{\frac {2n\varpi }{m}}.{\sqrt {-1}}.$

Remarque 1.^er En combinant entre eux les théorèmes 2.^e et 3.^e, ainsi que leurs corollaires, on peut faire les rapprochemens les plus curieux et les plus intéressans entre les arcs de cercles, les logarithmes naturels et les racines de l’unité, et rattacher ces trois branches de calcul à une seule et unique théorie.

Remarque 2.^e. On voit, par cette théorie des signes de position, qu’à la rigueur on pourrait se passer, en géométrie, des signes $+,-$ et $\pm {\sqrt {-1}},$ comme signes de position ; et que nos signes $1_{0},1_{\pm \varpi },1_{\pm {\frac {\varpi }{2}}}$ les remplacent, avec avantage, en conservant la liaison de ces signes avec le signe général de position $1_{\pm \alpha }$. Il en résulterait encore cet autre avantage que les signes $+$ et $-$ ne serviraient plus désormais qu’à indiquer l’addition et la soustraction ; de sorte