joignant deux des points de concours des directions des côtés opposés
était extérieure à ce cercle ; 2.o que l’hexagone circonscrit était tel
que deux au moins de diagonales joignant des sommets opposés se
coupaient dans l’intérieur du cercle.
Mais, lorsque les côtés de l’hexagone, soit inscrit soit circonscrit, se coupent les uns les autres, entre leurs extrémités, il est des cas nombreux où ces conditions ne peuvent plus être satisfaites, de sorte qu’il semblerait manquer quelque chose aux précédentes démonstrations ; mais on peut les compléter à l’aide des considérations suivantes.
On sait que l’équation générale des lignes du second ordre renferme cinq coefficiens nécessaires et indépendans, dont on peut disposer pour faire passer la courbe par cinq points ou la rendre tangente à cinq droites données.
Si l’on veut au contraire assujettir la courbe à passer par six points ou à toucher six droites données, on obtiendra entre les données qui déterminent ces six points ou ces six droites une certaine équation de relation, laquelle demeurera invariablement la même, quelle que soit la situation respective de ces points ou de ces droites, puisqu’on peut parvenir à cette équation de relation, sans savoir aucunement de quelle manière les points ou les droites sont situés.
Mais, si l’on supposait leur situation telle que les exceptions que je viens de mentionner n’eussent pas lieu, l’équation de relation ne pourrait être que l’expression analitique de l’un ou de l’autre de nos deux théorèmes ; puisque, dans le cas contraire, on se trouverait avoir deux équations de relation au lieu d’une.
Puis donc que cette équation de relation est invariable dans sa forme, nos deux théorèmes doivent être vrais dans tous les cas.
Le tour de raisonnement par lequel ces deux théorèmes viennent d’être démontrés peut s’appliquer à la démonstration du suivant qui renferme la propriété des pôles des sections coniques ;
Deux hexagones étant l’un inscrit et l’autre circonscrit à une même section conique, de manière que les sommets de l’inscrit
