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PROBLÈMES.

${\begin{aligned}&nM=\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\varkappa -\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa ,\\&nM'=\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa ',\\&nN=\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa ,\\&nN'=\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\varkappa '+\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa ',\\&(\theta '-\theta ){\sqrt {n^{3}}}=(\varkappa '-\varkappa )+\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Sin} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varkappa ).\\\end{aligned}}$

99. L’élimination de l’angle $\varepsilon$ nous fournit le moyen de réduire à trois les quatre premières de ces équations. Nous avons déjà observé, dans le précédent mémoire, que

$R-R'$ ou $ns(O-O')=2\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Sin} .\psi ,$

$PQ'-P'Q$ ou $n^{2}(MN'-M'N)=$

$2\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi (\operatorname {Cos} .\psi +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi ),$

$RR'-PP'-QQ'$ ou $n^{2}(OO'-MM'-NN')=2\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .^{2}\psi \,;$

de même que, dans le problème précédent, nous avons employé les lettres $\phi$ et $\psi$ pour désigner la demi-somme et la demi-différence des deux anomalies excentriques, tellement que $\varkappa '=\phi +\psi ,$ et $\varkappa =\phi -\psi .$ Moyennant cette notation, la dernière équation prendra la forme qui suit :

$(\theta '-\theta ){\sqrt {n^{3}}}=2\psi +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi \operatorname {Sin} .\psi .$

100. Pour présenter nos quatre équations sous la forme la plus simple dont elles peuvent être susceptibles, nous emploirons les quatre lettres $a,b,c,d,$ de la manière qui suit : soient

${\begin{aligned}2a=&O-O',\\2b=&MN'-M'N,\\2c=&OO'-MM'-NN',\\2d=&\theta -\theta '\,;\\\end{aligned}}$

elles deviendront alors

${\begin{aligned}n\ a=&\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Sin} .\psi ,\\n^{2}a=&\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi (\operatorname {Cos} .\psi +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi ),\\\end{aligned}}$