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ALGÉBRIQUE.

2. La fonction désignée par $\Lambda$ (Arith. univ. n.^o 560) est

$\Lambda n=B_{1}n+B_{2}n^{2}+B_{4}n^{4}+B_{6}n^{6}+\ldots \qquad$(A)

$B_{1},B_{2},B_{4},\ldots$ étant les nombres de Bernouilli ; et on a le théorème suivant (ibid. n.^o 573)

${\tfrac {1}{a}}+{\tfrac {1}{a+2r}}+\ldots +{\tfrac {1}{a+(p-1)r}}={\frac {1}{r}}\left\{\operatorname {Log} .{\frac {a+pr}{a}}+\Lambda {\frac {r}{a}}-\Lambda {\frac {r}{a+pr}}\right\}.$

faisant ${\frac {r}{a}}=n,$ on obtient

$1+{\frac {1}{1+n}}+{\frac {1}{1+2n}}+\ldots +{\frac {1}{1+(p-1)n}}$

$={\frac {1}{n}}\left\{\operatorname {Log} .(1+pn)+\Lambda n-\Lambda {\frac {n}{1+pn}}\right\}.\quad$(B)

On tire de cette dernière équation, en faisant $n=1,$

$\operatorname {Log} .(1+p)=\Lambda {\frac {1}{1+p}}-\Lambda 1+(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{p}}).\qquad$(C)

Mettons $1+n$ pour $n$ dans l’équation (B), et nous aurons, en isolant $\Lambda (1+n).$

$\Lambda (1+n)=(1+n)\left\{1+{\frac {1}{2+n}}+{\frac {1}{3+2n}}+\ldots +{\frac {1}{p+(p-1)n}}\right\}$

$-\operatorname {Log} .(1+p+pn)+\Lambda {\frac {1+n}{1+p+pn}}\,;\qquad$(D)

or,

$1+p+pn=(1+p)(1+n)-n=(1+p)(1+n)\left\{1-{\frac {n}{(1+p)(1+n)}}\right\}\,;$

donc, en employant la valeur de $\operatorname {Log} .(1+p),$ (C),

$\operatorname {Log} .(1+p+pn)=\Lambda {\frac {1}{1+p}}-\Lambda 1+(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{p}})$

$+\operatorname {Log} .(1+n)+\operatorname {Log} .\left[1-{\frac {n}{(1+p)(1+n)}}\right].$

Réduisant les fractions de (D) en séries, procédant suivant les puissances positives de $n,$ et substituant la valeur que nous venons de trouver pour $\operatorname {Log} .(1+p+pn),$ nous aurons