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ALGÉBRIQUE.

$\left.{\begin{aligned}\lambda _{1}&=-1+S_{2},\\\lambda _{2}&=+{\tfrac {1}{2}}-S_{2}+S_{3},\\\lambda _{3}&=+{\tfrac {1}{3}}+S_{2}-2S_{3}+S_{4},\\\lambda _{4}&=+{\tfrac {1}{4}}-S_{2}+3S_{3}-3S_{4}+S_{5},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}\right\}\quad$(F)

or, les séries $S_{2},S_{3},\ldots$ sont sommables (Introd. d’Euler. Arith. univ. n.^o 599) ; on peut donc déterminer les valeurs numériques des coefficiens $\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$

On tire des équations précédentes

${\begin{aligned}\lambda _{2}&=-{\tfrac {1}{2}}+S_{3}-\lambda _{1},\\\lambda _{3}&=-{\tfrac {1}{3}}+S_{4}-(\lambda _{1}+2\lambda _{2}),\\\lambda _{4}&=-{\tfrac {1}{4}}+S_{5}-(\lambda _{1}+3\lambda _{2}+3\lambda _{3}),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

formules qu’on peut employer à vérifier le calcul fait par ïea équations (F).

Observons que, si l’on fait, en général, $T_{\varepsilon }=S_{\varepsilon }-1,$ on pourra substituer $T$ à $S$ dans les équations (F), excepté dans la première.

4. Quant à $\Lambda _{1}$ on peut le calculer par la formule (C), en prenant pour $p$ un nombrcr assez grand pour qu’en développant $\Lambda {\frac {1}{1+p}}$ par la formule primitive (A), on n’ait pas à craindre l’effet de l’augmentation progressive des nombres de Bernouilli.

On peut aussi faire $n=-1$ dans (E), ce qui donne

$\Lambda _{1}=\lambda _{1}-\lambda _{2}+\lambda _{3}-\lambda _{4}+\ldots \,;\qquad$(G)

enfin, on peut encore employer la formule

$\Lambda _{1}=1-\operatorname {Log} .2+{\frac {T_{2}}{2}}-{\frac {T_{3}}{3}}+{\frac {T_{4}}{4}}-\ldots \,;\qquad$(H)