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PROBLÈMES

145. Désignons par $p$ le temps d’une révolution de la planète, et par $q$ le temps d’une révolution du satellite. Soient de plus

$a,$ le demi-grand axe de l’orbite de la planète ;

$a\operatorname {Cos} .\lambda ,$ son demi-petit axe ;

$b,$ le rayon de l’orbite du satellite $\mathrm {=AB=AC=AI} \,;$

$\phi ,$ l’anomalie vraie $\mathrm {AFI} \,;$

$\varkappa ,$ l’anomalie excentrique correspondante ;

$\alpha ,$ l’angle $\mathrm {BAC} ,$ qui fixe le lieu du satellite, au moment du passage de la planète par son aphélie.

On aura conséquemment

$a\operatorname {Sin} .\lambda ,$ pour l’excentricité de l’orbite,

$a(1+\operatorname {Cos} .\lambda )$ pour son aphélie $\mathrm {FA} \,;$

$a(1-\operatorname {Cos} .\lambda )$ pour son périhélie $\mathrm {FA} '.$

146. En conséquence, on aura les équations suivantes :

$\operatorname {Sin} .\varkappa ={\frac {\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }},\qquad \operatorname {Cos} .\varkappa ={\frac {\operatorname {Cos} .\phi -\operatorname {Sin} .\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }},$

${\frac {2\varpi t}{p}}=\varkappa +\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\varkappa .$

On tire des deux premières

$\operatorname {d} \varkappa ={\frac {\operatorname {d} \lambda \operatorname {Sin} .\phi +\operatorname {d} \phi \operatorname {Cos} .\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }}$

et de la troisième

$\operatorname {d} \varkappa =-\operatorname {d} \lambda \operatorname {Sin} .\phi +{\frac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }{\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }}.{\frac {2\varpi \operatorname {d} t}{p}}.$

Ces valeurs, égalées entre elles, donneront

$\operatorname {d} \phi ={\frac {2\varpi (1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}{p\operatorname {Cos} .^{3}\lambda }}\operatorname {d} t-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{\operatorname {Cos} .\lambda }}\operatorname {d} \lambda .$

D’un autre côté, on a, pour l’expression littérale de l’angle $\mathrm {IFH}$

$\operatorname {Tang} .\mathrm {IFH} ,\qquad$ou$\qquad \operatorname {Ang} .\mathrm {IFH} =-{\frac {b\operatorname {Sin} .\left(\alpha +{\frac {2\varpi t}{q}}-\phi \right)}{a+b\operatorname {Cos} .\left(\alpha +{\frac {2\varpi t}{q}}-\phi \right)}}.$