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POLYGONES RÉGULIERS.

{\begin{aligned}\operatorname {Sin} .(z,x)\operatorname {Sin} .(x,y)\operatorname {Cos} .(zx,xy)=&\operatorname {Cos} .(y,z)-\operatorname {Cos} .(z,x)\operatorname {Cos} .(x,y),\\\operatorname {Sin} .(x,y)\operatorname {Sin} .(y,z)\operatorname {Cos} .(xy,yz)=&\operatorname {Cos} .(z,x)-\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(y,z),\\\operatorname {Sin} .(y,z)\operatorname {Sin} .(z,x)\operatorname {Cos} .(yz,zx)=&\operatorname {Cos} .(x,y)-\operatorname {Cos} .(y,z)\operatorname {Cos} .(z,x)\,;\\\end{aligned}}

On reconnaît ici les équations fondamentales de la trigonométrie sphérique.

Il n’aura pas au surplus échappé au lecteur que toutes les formules que nous venons d’obtenir, et beaucoup d’autres que nous aurions pu en déduire, sont des formules de trigonométrie sphérique, auxquelles peut-être on parviendrait beaucoup moins facilement en employant les voies ordinaires.

GÉOMÉTRIE.

Théorèmes relatifs aux polygones réguliers ;

Par feu Français, professeur aux écoles d’artillerie.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Il a été fait mention, dans le IV.^e volume de ce recueil (pages 70 et 133) d’une communication faite par M. Legendre à feu M. Français, au sujet de la nouvelle théorie des imaginaires de M. Argand, Ce qu’on va lire est la substance d’une réponse à cette communication, datée de La Fère, 7 novembre 1806. M. Français mande à M. Legendre qu’il était, dès l’an X, en possession des théorèmes que sa lettre renferme, qu’il en supprime les démonstrations, pour éviter les longueurs ; mais qu’il pense qu’elles doivent se rattacher facilement à la nouvelle théorie. Il termine ainsi :

« Je suis intimement persuadé que la Géométrie de position va enfin voir le jour. Depuis Leibnitz, plus d’un siècle elle fut annoncée, aux savans. C’en est fait, je crois, elle va naître ou elle est née : gloire à son-auteur ».

Nous aurions pu tenter de donner les démonstrations de ces théorèmes ; nous avons pensé qu’il était plus convenable de laisser au lecteur le plaisir de les découvrir.

Dans tout ce qui va suivre, nous représenterons constamment par $S_{1},S_{2},S_{3},\ldots$ les sommets d’un polygone régulier ; $C$ sera