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POLYGONES

de $m$ côtés on mène au cercle inscrit une tangente $\mathrm {PT} ,$ le touchant en $\mathrm {T} \,;$ en posant l’angle $\mathrm {CPT} =2\beta ,$ et conservant à $\alpha$ sa précédente valeur ; on aura

$\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} =4\left({\tfrac {1}{2}}a\right)^{m}\operatorname {Sin} .m(\alpha -\beta )\operatorname {Sin} .m(\alpha +\beta ).$

Corollaire II. Si le point $\mathrm {P}$ est au contraire intérieur au polygone ; en élevant à $\mathrm {CP}$ en $\mathrm {P}$ une perpendiculaire $\mathrm {PK} ,$ terminée en $\mathrm {K}$ à la circonférence du cercle inscrit, menant le rayon $\mathrm {CK}$ et posant l’angle $\mathrm {PCK} =2\beta \,;$ on aura

$\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}}$

$=\left({\tfrac {1}{2}}a\right)^{m}\left\{\operatorname {Tang} .^{m}({\tfrac {1}{4}}\varpi -\beta )+\operatorname {Cot} .^{m}({\tfrac {1}{4}}\varpi -\beta )-2\operatorname {Cos} .2m\alpha \right\}$

Corollaire III. $\mathrm {P}$ étant sur la circonférence du cercle inscrit ; on a

$\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} =4\left({\tfrac {1}{2}}r'\right)^{m}\operatorname {Sin} .^{2}m\alpha .$

Corollaire IV. Si, au contraire, $\mathrm {P}$ est sur la circonférence du cercle circonscrit ; on aura

$\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} =-4\left({\tfrac {1}{2}}r\right)^{m}\operatorname {Cos} .^{2}m\alpha .$

Corollaire V. Deux polygones réguliers de $m$ côtés étant l’un $S_{1}S_{2}S_{3}\ldots S_{m}$ circonscrit et l’autre $S'_{1}S'_{2}S'_{3}\ldots S'_{m}$ inscrit à un même cercle ; d’un rayon $r,$ de telle manière que leurs côtés soient respectivement parallèles ; et $\mathrm {P}$ étant un point quelconque de la circonférence ; on a, abstraction faite des signes des perpendiculaires,

$\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} +\mathrm {PH'_{1}.PH'_{2}.PH'_{3}\ldots PH'_{m}} =4\left({\tfrac {1}{2}}r\right)^{m}.$

Corollaire VI. Si, au contraire, les sommets de l’inscrit répondent