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LOGARITHMIQUES.

changé $x$, dans cette dernière formule, en ${\sqrt[{m}]{x}}$ et en ${\sqrt[{m}]{b}}$, elle deviendra

$\operatorname {Log} .x=mA\left\{\left({\sqrt[{m}]{x}}-1\right)-{\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt[{m}]{x}}-1\right)^{2}+{\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{m}]{x}}-1\right)^{3}-\ldots \right\},$

$\qquad \ 1=nA\left\{\left({\sqrt[{n}]{b}}-1\right)-{\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{b}}-1\right)^{2}+{\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{n}]{b}}-1\right)^{3}-\ldots \right\}\,;$

d’où on conclura, en divisant,

$\operatorname {Log} .x={\frac {m}{n}}.{\frac {\left({\sqrt[{m}]{x}}-1\right)-{\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt[{m}]{x}}-1\right)^{2}+{\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{m}]{x}}-1\right)^{3}-\ldots }{\left({\sqrt[{n}]{b}}-1\right)-{\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{b}}-1\right)^{2}+{\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{n}]{b}}-1\right)^{3}-\ldots }}\,;$

expression que l’on peut toujours facilement rendre convergente à volonté, en prenant pour $m$ et $n$ des puissances de $2$ d’un degré très-élevé. On trouvera, au surplus, dans le premier volume de ce recueil (page 18) de très-amples développemens sur le parti que l’on peut tirer de la formule (4), dans le calcul des tables de logarithmes.

II. Le logarithme de l’unité étant nul, dans tout système de logarithmes, on est fondé à supposer, quel que soit $x$,

$x=1+A\operatorname {Log} .x+B\operatorname {Log} .^{2}x+C\operatorname {Log} .^{3}x+\ldots \qquad$(6)

$A,B,C,\ldots$ étant des coefficiens inconnus qu’il s’agit de déterminer.

On aura semblablement

$y=1+A\operatorname {Log} .y+B\operatorname {Log} .^{2}y+C\operatorname {Log} .^{3}y+\ldots \qquad$(7)

et

${\frac {x}{y}}=1+A\operatorname {Log} .{\frac {x}{y}}+B\operatorname {Log} .^{2}{\frac {x}{y}}+C\operatorname {Log} .^{3}{\frac {x}{y}}+\ldots$

série que l’on peut encore écrire ainsi

${\frac {x}{y}}=1+A\left(\operatorname {Log} .{x}-\operatorname {Log} .{y}\right)$

$+B\left(\operatorname {Log} .{x}-\operatorname {Log} .{y}\right)^{2}+C\left(\operatorname {Log} .{x}-\operatorname {Log} .{y}\right)^{3}+\ldots \quad$(8)

Mais on a

$x-y=y\left({\frac {x}{y}}-1\right)\,;$

substituant donc les valeurs (6), (7), (8), il viendra, en divisant les deux membres de l’équation résultante par $\operatorname {Log} .x-\operatorname {Log} .y,$