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LOGARITHMIQUES.

ce qui donne, en multipliant membre à membre, et supprimant de part et d’autre le facteur $(x-1)\operatorname {Log} .x,$

$1=AA'\left\{1-{\tfrac {1}{2}}(x-1)+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{2}-\ldots \right\}\times$

$\left\{1+{\frac {A\operatorname {Log} .x}{1.2}}+{\frac {A^{2}\operatorname {Log} .^{2}x}{1.2.3}}+\ldots \right\}\,;$

faisant enfin, dans cette dernière équation $x=1,$ on arrivera à cette relation simple

$AA'=1.$

Ainsi, l’on peut écrire

${\begin{aligned}\operatorname {Log} .x&={\frac {1}{A}}\left\{(x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-\ldots \right\},\qquad {\text{(10)}}\\x&=1+{\frac {A\operatorname {Log} .x}{1}}+{\frac {A^{2}\operatorname {Log} .^{2}x}{1.2}}+{\frac {A^{3}\operatorname {Log} .^{3}x}{1.2.3}}+\ldots \,;\qquad {\text{(11)}}\\\end{aligned}}$

la constante $A$ étant alors la même dans les deux formules.

Cette constante étant arbitraire, la supposition la plus simple qu’on puisse faire à son égard est $A=1$ ; on tombe alors sur les logarithmes népériens ou naturels. En les désignant simplement par $\operatorname {l} ,$ on a

${\begin{aligned}\operatorname {l} x&=(x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-\ldots ,\qquad {\text{(12)}}\\x&=1+{\frac {\operatorname {l} x}{1}}+{\frac {\operatorname {l} ^{2}x}{1.2}}+{\frac {\operatorname {l} ^{3}x}{1.2.3}}+\ldots \,;\qquad {\text{(13)}}\\\end{aligned}}$

Si, dans la dernière de ces deux formules, on change $x$ en $b,\ b$ étant la base d’un système quelconque, on aura

$b^{x}=1+{\frac {x\operatorname {l} b}{1}}+{\frac {x^{2}\operatorname {l} ^{2}b}{1.2}}+{\frac {x^{3}\operatorname {l} ^{3}b}{1.2.3}}+\ldots$

En désignant par $e$ la base du système de Néper, et changeant $b$ en $e,$ dans cette dernière formule, on aura

$e^{x}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+\ldots$

Si enfin dans celle-ci on fait $x=1,$ on aura, pour calculer la base $e$ du système de Néper, cette série très-commode et très-convergente

$e=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{1.2.3}}+{\frac {1}{1.2.3.4}}+\ldots$