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RÉSOLUES.

du petit côté serait infiniment peu éclairé, et qu’il en serait de même de ses deux extrémités ; mais, à mesure que $z$ diminuera l’illumination deviendra plus vive ; cependant, comme cette illumination redeviendra de nouveau infiniment petite, lorsqu’on aura $z=-\infty ,$ il s’ensuit qu’entre ces deux valeurs il doit s’en trouver une qui donne pour le milieu du petit côté, et conséquemment aussi pour ses extrémités, un maximum d’illumination ; et l’on voit même que ce maximum répondrait à $z=a,$ si l’on avait $c=0,$ puisqu’alors l’une des lumières se confondrait avec le milieu du petit côté.

Pour savoir à quelle valeur de $z$ répond le maximum dont il s’agit, lorsque $c$ n’est point nul, différencions la formule (1) par rapport à cette variable $z$ en divisant par $\operatorname {d} z,$ nous trouverons ainsi

$4z.{\frac {4a^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right)-\left(z^{2}+a^{2}+c^{2}\right)^{2}}{\left\{\left(z^{2}+a^{2}+c^{2}\right)^{2}-4a^{2}z^{2}\right\}^{2}}}\,;$

d’où, en égalant à zéro,

$z=0,\qquad$ou$\qquad \left(z^{2}+a^{2}+c^{2}\right)^{2}=4a^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right).$

En rejetant tout emploi de signes qui rendrait inévitablement $z$ imaginaire, ainsi que le double signe de $z,$ la seconde équation donne simplement

$z={\sqrt {\left(2a-{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}\right){\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}}\,;$

et encore, pour que cette valeur puisse être admise, faudra-t-il qu’on n’ait pas $2a<{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}.$ Ainsi, en élevant au milieu de la table une perpendiculaire à son plan égale à la hauteur commune des deux lumières, il faudra que la distance de l’extrémité de cette perpendiculaire au milieu du petit côté n’excède pas la longueur totale de la table, pour que cette valeur de $z$ puisse être admise.

Pour savoir présentement laquelle de cette valeur ou de la valeur $z=0$ répond au maximum, passons à la différentielle seconde, que nous trouverons être, en la divisant par $\operatorname {d} z^{2},$