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ET SURFACES DU SECOND ORDRE.

$(x-a)^{2}+2(x-a)(y-b)\operatorname {Cos} .\gamma +(y-b)^{2}=r^{2},\qquad$(21)

$y-b=m(x-a).\qquad \qquad \qquad \qquad$(22)

D’un autre côté l’élimination de $m'$ entre les équations (9) et (20) donne

$(C-B\operatorname {Cos} .\gamma )m^{2}+(A-B)m-(C-A\operatorname {Cos} .\gamma )=0.\qquad$(23)

Enfin l’équation (1) peut facilement être mise sous cette forme

$A(x-a)^{2}+B(y-b)^{2}+2C(x-a)(y-b)$

$+2(Aa+Cb+A')x+2(Ca+Bb+B')y$

$+D-Aa^{2}-Bb^{2}-2Cab=0;$

faisant donc

$Aa^{2}+Bb^{2}+2Cab-D=\Delta ,$

et remarquant qu’en vertu des équations (11) on a

${\begin{aligned}Aa+Cb+A'&=0,\\Ca+Bb+B'&=0,\\\end{aligned}}$

elle deviendra simplement

$A(x-a)^{2}+B(y-b)^{2}+2C(x-a)(y-b)=\Delta .\qquad$(24)

Cela posé ; si, dans les équations (21) et (24), on introduit pour $y-b$ sa valeur donnée par l’équation (22) elles deviendront

$\left.{\begin{aligned}&(x-a)^{2}(1+2m\operatorname {Cos} .\gamma +m^{2})=r^{2},\\&(x-a)^{2}(A+2Cm+Bm^{2})=\Delta \,;\end{aligned}}\right\}\qquad$(25)

équations entre lesquelles éliminant $(x-a)^{2},$ il viendra