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DES DÉRIVATIONS.

coefficient de ${\frac {\operatorname {D} ^{r}.\phi a}{1.2\ldots n}}$ dans ${\frac {\operatorname {D} ^{n}.\phi a}{1.2\ldots n}}$ était composé de tous les produits de r lettres qu’on peut former avec les quantités polynômiales $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,$ de manière que la somme des indices de chaque produit soit égale à $n,$ et que les coefficiens numériques de chaque produit indiquaient le nombre des permutations dont les lettres de ces produits sont susceptibles : nous aurons donc immédiatement tous ces produits, avec leurs coefficiens numériques, en développant la dérivée ${\frac {\operatorname {D} ^{n-r}.a_{1}^{r}}{1.2\ldots (n-r)}}.$ De plus, le nombre des termes dont ce développement sera composé indiquera de combien de manières on peut composer le nombre $n,$ avec $r$ nombres, égaux ou inégaux. Ainsi, en supposant $n=12,\ r=8,$ on aura, pour le coefficient de ${\frac {\operatorname {D} ^{4}.\phi a}{1.2\ldots 8}}$ dans ${\frac {\operatorname {D} ^{12}.\phi a}{1.2\ldots 12}},$

${\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}.a_{1}^{8}={\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}.a_{1}^{8}.a_{2}^{6}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.a_{1}^{8}.\operatorname {D} .a_{2}^{3}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.a_{1}^{8}.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.a_{2}^{2}$

$+\operatorname {D} .a_{1}^{8}.{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.a_{2}$

$={\frac {8.7.6.5}{1.2.3.4}}a_{1}^{4}a_{1}^{4}+{\frac {8.7.6}{1.2.3}}a_{1}^{5}.3a_{2}^{2}a_{3}+{\frac {8.7}{1.2}}a_{1}^{6}\left(2a_{2}a_{4}+a_{3}^{2}\right)+{\frac {8}{1}}a_{1}^{7}a_{5}.$

Ce coefficient étant composé de cinq termes, fait voir que le nombre $12$ peut être formé de cinq manières différentes, par l’addition de huit nombres, savoir : $1+1+1+1+2+2+2+2,\quad 1+1+1+1+1+2+2+3,\$

$1+1+1+1+1+1+2+4,\quad 1+1+1+1+1+1+3+3,$ $1+1+1+1+1+1+1+5,$ lesquels sont donnés immédiatement par les indices et exposans des lettres des produits.

37. La règle du n.^o 15 n’est qu’un corollaire de celle du n.^o 8 et de celle du n.^o 12, qui est une suite évidente des équations (12) : en effet, si dans l’équation (15) on suppose $a_{2}=0,a_{3}=0,\ldots$, $b_{2}=0,b_{3}=0,\ldots$, elle deviendra

(64) $\phi \left(a+a_{1}x\right)\times \psi \left(b+b_{1}x\right)=A+A_{1}x+A_{2}x^{2}+A_{3}x^{3}+\ldots$

or, le premier membre de cette équation devient, d’après l’équation (53),