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DES DÉRIVATIONS.

Si tous les exposans de $a_{1},$ sous le signe de dérivation, étaient les mêmes que dans les termes correspondons de la première colonne, on pourrait appliquer immédiatement au développement de ces quantités la règle du n.^o 15 ; mais, comme ces exposans vont en diminuant d’une unité, d’une colonne à l’autre, comme au n.^o 34, il est nécessaire de faire subir à chaque terme la même préparation que dans ce n.^o ; c’est-à-dire, qu’il faut soumettre chaque terme à la règle du n.^o 35, et ensuite y appliquer celle du n.^o 15. Par ce moyen, on peut développer immédiatement un terme quelconque ${\frac {\operatorname {D} ^{n}.\left(\phi a\psi b\right)}{1.2\ldots n}}$ de l’équation (15), indépendamment de ceux qui le précèdent.

39. Remarque. On peut faire ici une observation analogue à celle du n.^o 36. Par le procédé du n.^o précédent, on peut aussi calculer immédiatement un terme quelconque de ${\frac {\operatorname {D} ^{n}.\left(\phi a\psi b\right)}{1.2\ldots n}},$ indépendamment des autres : ainsi le coefficient de ${\frac {\operatorname {D} ^{r}\phi a}{1.2\ldots r}}.{\frac {\operatorname {D} ^{s}\psi b}{1.2\ldots s}}$ sera ${\frac {\operatorname {D} ^{n-r-s}.\left(a_{1}^{r}b_{1}^{s}\right)}{1.2\ldots (n-r-s)}},$ dont le développement s’exécutera par le n.^o précédent, en remplaçant $n$ par $n-r-s,$ $\phi a$ par $a_{1}^{r},$ et $\psi b$ par $b_{1}^{s},$ et considérant $a_{1}$ et $b_{1}$ comme des premiers termes de polynômes. Supposant donc $n=12,\ r=7,\ s=2,$ on aura, pour le coefficient de ${\frac {\operatorname {D} ^{7}\phi a}{1.2\ldots 7}}.{\frac {\operatorname {D} ^{2}\psi b}{1.2}},$ dans ${\frac {\operatorname {D} ^{12}.\left(\phi a.\psi b\right)}{1.2\ldots 12}},$

${\frac {\operatorname {D} ^{3}.\left(a_{1}^{7}b_{1}^{2}\right)}{1.2.3}}={\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}a_{1}^{7}b_{1}^{2}a_{2}^{3}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}a_{1}^{7}b_{1}^{2}.\operatorname {D} .a_{2}^{2}+\operatorname {D} a_{1}^{7}b_{1}^{2}.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.a_{2}$

$+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}a_{1}^{7}b_{1}^{2}a_{2}^{2}b_{2}+\operatorname {D} a_{1}^{7}.\operatorname {D} b_{1}^{2}.\operatorname {D} .\left(a_{2}b_{2}\right)+a_{1}^{7}.\operatorname {D} b_{1}^{2}.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}b_{2}$

$+\operatorname {D} ^{2}a_{1}^{7}.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}b_{1}^{2}.a_{2}b_{2}^{2}+a_{1}^{7}.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}b_{1}^{2}\operatorname {D} .b_{2}^{2}$

$={\frac {7.6.5}{1.2.3}}a_{1}^{4}.b_{1}^{2}.a_{2}^{3}+{\frac {7.6}{1.2}}a_{1}^{5}.b_{1}^{2}.2a_{2}a_{3}+7a_{1}^{6}.b_{1}^{2}.a_{4}$