où les quantités qui restent à développer sont de la même forme que celles (68), du n.o 38, et doivent être développées de la même manière.
42. Au moyen du n.o précédent, nous sommes donc en état de calculer immédiatement un terme quelconque d’une fonction de polynôme, ordonné selon les puissances d’une fonction ou d’un polynôme donné ; ce qui constitue le problème général du retour des fonctions et des séries, étendu aux fonctions de polynômes. De plus, d’après la remarque du n.o 39, qui est applicable à ce cas, nous pouvons aussi calculer immédiatement une partie quelconque d’un terme, sans calculer le reste de ce terme. Mais, ce qu’il y a de plus remarquable, c’est que cette question difficile est résolue d’une manière si simple qu’on n’a, pour ainsi dire, que la peine d’écrire le résultat.
43. Résumons, en deux mots, l’objet et l’esprit du calcul des dérivations, tel qu’il résulte de ce petit écrit. Le théorème de Taylor donne le développement d’une fonction simple d’un binôme, selon les puissances ascendantes de la variable principale, ou selon les mêmes puissances d’une fonction quelconque donnée de cette variable. Le passage du théorème de Taylor au développement des fonctions de polynômes, ou des fonctions de fonctions, selon les puissances ascendantes de la variable, n’est autre chose que le passage de la différentiation d’une fonction, en regardant la différentielle de la variable principale comme constante, à la différentielle de la même fonction, en ne regardant aucune différentielle comme constante. Quant au passage du développement d’une fonction, selon les puissances ascendantes de la variable à celui selon les puissances ascendantes d’une fonction donnée de cette variable ; (ce qui constitue le retour des fonctions et des séries) ; il n’est
