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RÉSOLUES.

intégrant entre $\theta =\alpha$ et $\theta =0$ et désignant par $2T$ la durée d’une oscillation entière, on trouvera^[1]

$2T=\varpi {\sqrt {\frac {a}{\operatorname {g} }}}.{\frac {1}{\operatorname {Sin} .\alpha }}.\left(1+A_{1}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha +A_{2}\operatorname {Sin} .^{4}{\tfrac {1}{2}}\alpha +A_{3}\operatorname {Sin} .^{6}{\tfrac {1}{2}}\alpha +\ldots \right)\,;\qquad$(4)

les coefficiens $A_{1},A_{2},A_{3},$ étant donnés par la loi suivante

$A_{n}=\left\{{\frac {1.3.5\ldots (2n-1)}{2.4.6\ldots 2n}}\right\}^{2}.\qquad$(5)

En considérant $T$ comme fonction de $\alpha ,$ différentiant l’équation (4) sous ce point de vue et égalant ${\frac {\operatorname {d} T}{\operatorname {d} \alpha }}$ à zéro, on trouvera, toutes réductions faites,

$1=B_{1}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha +B_{2}\operatorname {Sin} .^{4}{\tfrac {1}{2}}\alpha +B_{3}\operatorname {Sin} .^{6}{\tfrac {1}{2}}\alpha +\ldots \qquad$(6)

équation dans laquelle les coeffiens $B_{1},B_{2},B_{3},\ldots$ sont donnée par la loi suivante.

$B_{n}={\frac {4n^{2}+8n-1}{4n^{2}-4n+1}}.A_{n}.\qquad$(7)

L’équation (6) n’est point susceptible de résolution exacte ni directe, en la traitant par le retour des suites, on trouve à peu près $\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\alpha =0{,}338255,$ d’où $\alpha =71.^{\circ }7'.33'',$ et $r={\frac {a}{\operatorname {Sin} .\alpha }}=1{,}056823.a\,;$ l’équation (4) donne ensuite $2T=\varpi {\sqrt {\frac {a}{\operatorname {g} }}}.1{,}126105={\sqrt {\frac {a}{0^{\circ }{,}986547}}}.$

Mais cette valeur de $2T$ est-elle bien réellement un minimum ? Pour répondre à cette question nous remarquerons d’abord que,

1. Voyez, pour les détails de l’intégration, le Traité de mécanique de M. Poisson ; tome I, page 415.
   J. D. G.